Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31831 / 37609
↖ ↑ ↗
← S 25.686088°
W  5.147095°		 ← 550.43 m → S 25.686088°
W  5.141602°		 →
↑
550.45 m
↓
↑
550.45 m
↓
S 25.691038°
W  5.147095°		 ← 550.41 m →
302 981 m²		 S 25.691038°
W  5.141602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485710144042969 y=0.573875427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485710144042969 × 216)
    floor (0.485710144042969 × 65536)
    floor (31831.5)     		tx = 31831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573875427246094 × 216)
    floor (0.573875427246094 × 65536)
    floor (37609.5)     		ty = 37609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31831 / 37609 ti = "16/31831/37609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31831/37609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31831 ÷ 216
    31831 ÷ 65536     		x = 0.485702514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37609 ÷ 216
    37609 ÷ 65536     		y = 0.573867797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485702514648438 × 2 - 1) × π
    -0.028594970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08983375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573867797851562 × 2 - 1) × π
    -0.147735595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.464125062121384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08983375} λ = -0.08983375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464125062121384))-π/2
    2×atan(0.628684924880022)-π/2
    2×0.56124476153846-π/2
    1.12248952307692-1.57079632675     		φ = -0.44830680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08983375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.147095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44830680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.686088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31831 KachelY 37609 -0.08983375 -0.44830680 -5.147095 -25.686088
    Oben rechts KachelX + 1 31832 KachelY 37609 -0.08973788 -0.44830680 -5.141602 -25.686088
    Unten links KachelX 31831 KachelY + 1 37610 -0.08983375 -0.44839320 -5.147095 -25.691038
    Unten rechts KachelX + 1 31832 KachelY + 1 37610 -0.08973788 -0.44839320 -5.141602 -25.691038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44830680--0.44839320) × R
    8.63999999999865e-05 × 6371000     		dl = 550.454399999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44830680--0.44839320) × R
    8.63999999999865e-05 × 6371000     		dr = 550.454399999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08983375--0.08973788) × cos(-0.44830680) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901182294885722 × 6371000     		do = 550.431124256721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08983375--0.08973788) × cos(-0.44839320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901144842282425 × 6371000     		du = 550.408248664672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44830680)-sin(-0.44839320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901182294885722-0.901144842282425)×R²
    abs(-0.08973788--0.08983375)×3.7452603297683e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7452603297683e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7452603297683e-05×40589641000000     		ar = 302980.938447292m²