Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31830 / 37846
↖ ↑ ↗
← S 26.853479°
W  5.152588°		 ← 544.92 m → S 26.853479°
W  5.147095°		 →
↑
544.98 m
↓
↑
544.98 m
↓
S 26.858380°
W  5.152588°		 ← 544.90 m →
296 963 m²		 S 26.858380°
W  5.147095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485694885253906 y=0.577491760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485694885253906 × 216)
    floor (0.485694885253906 × 65536)
    floor (31830.5)     		tx = 31830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577491760253906 × 216)
    floor (0.577491760253906 × 65536)
    floor (37846.5)     		ty = 37846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31830 / 37846 ti = "16/31830/37846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31830/37846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31830 ÷ 216
    31830 ÷ 65536     		x = 0.485687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37846 ÷ 216
    37846 ÷ 65536     		y = 0.577484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485687255859375 × 2 - 1) × π
    -0.02862548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08992962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.15496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.48684715254129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08992962} λ = -0.08992962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.48684715254129))-π/2
    2×atan(0.614560959847139)-π/2
    2×0.551057347495142-π/2
    1.10211469499028-1.57079632675     		φ = -0.46868163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08992962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.152588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46868163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.853479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31830 KachelY 37846 -0.08992962 -0.46868163 -5.152588 -26.853479
    Oben rechts KachelX + 1 31831 KachelY 37846 -0.08983375 -0.46868163 -5.147095 -26.853479
    Unten links KachelX 31830 KachelY + 1 37847 -0.08992962 -0.46876717 -5.152588 -26.858380
    Unten rechts KachelX + 1 31831 KachelY + 1 37847 -0.08983375 -0.46876717 -5.147095 -26.858380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46868163--0.46876717) × R
    8.55399999999951e-05 × 6371000     		dl = 544.975339999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46868163--0.46876717) × R
    8.55399999999951e-05 × 6371000     		dr = 544.975339999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08992962--0.08983375) × cos(-0.46868163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892164584897356 × 6371000     		do = 544.92321728242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08992962--0.08983375) × cos(-0.46876717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892125942319325 × 6371000     		du = 544.899614868357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46868163)-sin(-0.46876717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892164584897356-0.892125942319325)×R²
    abs(-0.08983375--0.08992962)×3.86425780312116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86425780312116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86425780312116e-05×40589641000000     		ar = 296963.284426647m²