Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3183 / 3055
↖ ↑ ↗
← S 65.910623°
E 99.755859°		 ← 3 988.95 m → S 65.910623°
E 99.843750°		 →
↑
3 986.14 m
↓
↑
3 986.14 m
↓
S 65.946472°
E 99.755859°		 ← 3 983.37 m →
15 889 417 m²		 S 65.946472°
E 99.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7772216796875 y=0.7459716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7772216796875 × 212)
    floor (0.7772216796875 × 4096)
    floor (3183.5)     		tx = 3183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7459716796875 × 212)
    floor (0.7459716796875 × 4096)
    floor (3055.5)     		ty = 3055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3183 / 3055 ti = "12/3183/3055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3183/3055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3183 ÷ 212
    3183 ÷ 4096     		x = 0.777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3055 ÷ 212
    3055 ÷ 4096     		y = 0.745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777099609375 × 2 - 1) × π
    0.55419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74106819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.49169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54471865335669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74106819} λ = 1.74106819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54471865335669))-π/2
    2×atan(0.213371894245104)-π/2
    2×0.210219468726778-π/2
    0.420438937453557-1.57079632675     		φ = -1.15035739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74106819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.755859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15035739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.910623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3183 KachelY 3055 1.74106819 -1.15035739 99.755859 -65.910623
    Oben rechts KachelX + 1 3184 KachelY 3055 1.74260217 -1.15035739 99.843750 -65.910623
    Unten links KachelX 3183 KachelY + 1 3056 1.74106819 -1.15098306 99.755859 -65.946472
    Unten rechts KachelX + 1 3184 KachelY + 1 3056 1.74260217 -1.15098306 99.843750 -65.946472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15035739--1.15098306) × R
    0.000625670000000023 × 6371000     		dl = 3986.14357000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15035739--1.15098306) × R
    0.000625670000000023 × 6371000     		dr = 3986.14357000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74106819-1.74260217) × cos(-1.15035739) × R
    0.00153398000000005 × 0.40816120209893 × 6371000     		do = 3988.95395058963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74106819-1.74260217) × cos(-1.15098306) × R
    0.00153398000000005 × 0.407589941927033 × 6371000     		du = 3983.371032596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15035739)-sin(-1.15098306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40816120209893-0.407589941927033)×R²
    abs(1.74260217-1.74106819)×0.000571260171896182×R²
    0.00153398000000005×0.000571260171896182×6371000²
    0.00153398000000005×0.000571260171896182×40589641000000     		ar = 15889416.5031814m²