Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31828 / 37851
↖ ↑ ↗
← S 26.877981°
W  5.163574°		 ← 544.81 m → S 26.877981°
W  5.158081°		 →
↑
544.85 m
↓
↑
544.85 m
↓
S 26.882881°
W  5.163574°		 ← 544.78 m →
296 830 m²		 S 26.882881°
W  5.158081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485664367675781 y=0.577568054199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485664367675781 × 216)
    floor (0.485664367675781 × 65536)
    floor (31828.5)     		tx = 31828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577568054199219 × 216)
    floor (0.577568054199219 × 65536)
    floor (37851.5)     		ty = 37851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31828 / 37851 ti = "16/31828/37851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31828/37851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31828 ÷ 216
    31828 ÷ 65536     		x = 0.48565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37851 ÷ 216
    37851 ÷ 65536     		y = 0.577560424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48565673828125 × 2 - 1) × π
    -0.0286865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09012137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577560424804688 × 2 - 1) × π
    -0.155120849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.487326521537491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09012137} λ = -0.09012137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.487326521537491))-π/2
    2×atan(0.614266428976837)-π/2
    2×0.550843532631244-π/2
    1.10168706526249-1.57079632675     		φ = -0.46910926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09012137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46910926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.877981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31828 KachelY 37851 -0.09012137 -0.46910926 -5.163574 -26.877981
    Oben rechts KachelX + 1 31829 KachelY 37851 -0.09002550 -0.46910926 -5.158081 -26.877981
    Unten links KachelX 31828 KachelY + 1 37852 -0.09012137 -0.46919478 -5.163574 -26.882881
    Unten rechts KachelX + 1 31829 KachelY + 1 37852 -0.09002550 -0.46919478 -5.158081 -26.882881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46910926--0.46919478) × R
    8.55200000000056e-05 × 6371000     		dl = 544.847920000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46910926--0.46919478) × R
    8.55200000000056e-05 × 6371000     		dr = 544.847920000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09012137--0.09002550) × cos(-0.46910926) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.891971338378795 × 6371000     		do = 544.805184672366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09012137--0.09002550) × cos(-0.46919478) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.891932672213462 × 6371000     		du = 544.781567851468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46910926)-sin(-0.46919478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891971338378795-0.891932672213462)×R²
    abs(-0.09002550--0.09012137)×3.86661653332121e-05×R²
    9.58700000000118e-05×3.86661653332121e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×3.86661653332121e-05×40589641000000     		ar = 296829.538067009m²