Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31826 / 37844
↖ ↑ ↗
← S 26.843677°
W  5.174561°		 ← 544.97 m → S 26.843677°
W  5.169068°		 →
↑
544.98 m
↓
↑
544.98 m
↓
S 26.848578°
W  5.174561°		 ← 544.95 m →
296 989 m²		 S 26.848578°
W  5.169068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485633850097656 y=0.577461242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485633850097656 × 216)
    floor (0.485633850097656 × 65536)
    floor (31826.5)     		tx = 31826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577461242675781 × 216)
    floor (0.577461242675781 × 65536)
    floor (37844.5)     		ty = 37844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31826 / 37844 ti = "16/31826/37844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31826/37844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31826 ÷ 216
    31826 ÷ 65536     		x = 0.485626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37844 ÷ 216
    37844 ÷ 65536     		y = 0.57745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485626220703125 × 2 - 1) × π
    -0.02874755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09031312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.1549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.48665540494281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09031312} λ = -0.09031312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.48665540494281))-π/2
    2×atan(0.614678811733856)-π/2
    2×0.551142886407345-π/2
    1.10228577281469-1.57079632675     		φ = -0.46851055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09031312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.174561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46851055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.843677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31826 KachelY 37844 -0.09031312 -0.46851055 -5.174561 -26.843677
    Oben rechts KachelX + 1 31827 KachelY 37844 -0.09021725 -0.46851055 -5.169068 -26.843677
    Unten links KachelX 31826 KachelY + 1 37845 -0.09031312 -0.46859609 -5.174561 -26.848578
    Unten rechts KachelX + 1 31827 KachelY + 1 37845 -0.09021725 -0.46859609 -5.169068 -26.848578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46851055--0.46859609) × R
    8.55399999999951e-05 × 6371000     		dl = 544.975339999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46851055--0.46859609) × R
    8.55399999999951e-05 × 6371000     		dr = 544.975339999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09031312--0.09021725) × cos(-0.46851055) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892241850468986 × 6371000     		do = 544.970410148613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09031312--0.09021725) × cos(-0.46859609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892203220947337 × 6371000     		du = 544.946815709229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46851055)-sin(-0.46859609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892241850468986-0.892203220947337)×R²
    abs(-0.09021725--0.09031312)×3.86295216484589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86295216484589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86295216484589e-05×40589641000000     		ar = 296989.005548034m²