Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31825 / 37842
↖ ↑ ↗
← S 26.833874°
W  5.180054°		 ← 545.02 m → S 26.833874°
W  5.174561°		 →
↑
545.04 m
↓
↑
545.04 m
↓
S 26.838776°
W  5.180054°		 ← 544.99 m →
297 049 m²		 S 26.838776°
W  5.174561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485618591308594 y=0.577430725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485618591308594 × 216)
    floor (0.485618591308594 × 65536)
    floor (31825.5)     		tx = 31825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577430725097656 × 216)
    floor (0.577430725097656 × 65536)
    floor (37842.5)     		ty = 37842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31825 / 37842 ti = "16/31825/37842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31825/37842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31825 ÷ 216
    31825 ÷ 65536     		x = 0.485610961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37842 ÷ 216
    37842 ÷ 65536     		y = 0.577423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485610961914062 × 2 - 1) × π
    -0.028778076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09040899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.15484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.48646365734433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09040899} λ = -0.09040899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.48646365734433))-π/2
    2×atan(0.614796686220556)-π/2
    2×0.551228432726267-π/2
    1.10245686545253-1.57079632675     		φ = -0.46833946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09040899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.180054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46833946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.833874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31825 KachelY 37842 -0.09040899 -0.46833946 -5.180054 -26.833874
    Oben rechts KachelX + 1 31826 KachelY 37842 -0.09031312 -0.46833946 -5.174561 -26.833874
    Unten links KachelX 31825 KachelY + 1 37843 -0.09040899 -0.46842501 -5.180054 -26.838776
    Unten rechts KachelX + 1 31826 KachelY + 1 37843 -0.09031312 -0.46842501 -5.174561 -26.838776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46833946--0.46842501) × R
    8.55499999999898e-05 × 6371000     		dl = 545.039049999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46833946--0.46842501) × R
    8.55499999999898e-05 × 6371000     		dr = 545.039049999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09040899--0.09031312) × cos(-0.46833946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892319094440206 × 6371000     		do = 545.017589821541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09040899--0.09031312) × cos(-0.46842501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892280473462019 × 6371000     		du = 544.994000600399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46833946)-sin(-0.46842501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892319094440206-0.892280473462019)×R²
    abs(-0.09031312--0.09040899)×3.86209781870761e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86209781870761e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86209781870761e-05×40589641000000     		ar = 297049.441047599m²