Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31825 / 37808
↖ ↑ ↗
← S 26.667096°
W  5.180054°		 ← 545.82 m → S 26.667096°
W  5.174561°		 →
↑
545.87 m
↓
↑
545.87 m
↓
S 26.672005°
W  5.180054°		 ← 545.79 m →
297 938 m²		 S 26.672005°
W  5.174561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485618591308594 y=0.576911926269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485618591308594 × 216)
    floor (0.485618591308594 × 65536)
    floor (31825.5)     		tx = 31825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576911926269531 × 216)
    floor (0.576911926269531 × 65536)
    floor (37808.5)     		ty = 37808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31825 / 37808 ti = "16/31825/37808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31825/37808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31825 ÷ 216
    31825 ÷ 65536     		x = 0.485610961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37808 ÷ 216
    37808 ÷ 65536     		y = 0.576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485610961914062 × 2 - 1) × π
    -0.028778076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09040899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.15380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.483203948170166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09040899} λ = -0.09040899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.483203948170166))-π/2
    2×atan(0.616804014494631)-π/2
    2×0.552683851566602-π/2
    1.1053677031332-1.57079632675     		φ = -0.46542862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09040899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.180054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46542862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.667096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31825 KachelY 37808 -0.09040899 -0.46542862 -5.180054 -26.667096
    Oben rechts KachelX + 1 31826 KachelY 37808 -0.09031312 -0.46542862 -5.174561 -26.667096
    Unten links KachelX 31825 KachelY + 1 37809 -0.09040899 -0.46551430 -5.180054 -26.672005
    Unten rechts KachelX + 1 31826 KachelY + 1 37809 -0.09031312 -0.46551430 -5.174561 -26.672005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46542862--0.46551430) × R
    8.56799999999769e-05 × 6371000     		dl = 545.867279999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46542862--0.46551430) × R
    8.56799999999769e-05 × 6371000     		dr = 545.867279999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09040899--0.09031312) × cos(-0.46542862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89362928052719 × 6371000     		do = 545.817835459895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09040899--0.09031312) × cos(-0.46551430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893590823560198 × 6371000     		du = 545.794346414785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46542862)-sin(-0.46551430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89362928052719-0.893590823560198)×R²
    abs(-0.09031312--0.09040899)×3.84569669922286e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84569669922286e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84569669922286e-05×40589641000000     		ar = 297937.686449622m²