Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31824 / 37841
↖ ↑ ↗
← S 26.828973°
W  5.185547°		 ← 545.10 m → S 26.828973°
W  5.180054°		 →
↑
545.04 m
↓
↑
545.04 m
↓
S 26.833874°
W  5.185547°		 ← 545.07 m →
297 093 m²		 S 26.833874°
W  5.180054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485603332519531 y=0.577415466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485603332519531 × 216)
    floor (0.485603332519531 × 65536)
    floor (31824.5)     		tx = 31824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577415466308594 × 216)
    floor (0.577415466308594 × 65536)
    floor (37841.5)     		ty = 37841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31824 / 37841 ti = "16/31824/37841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31824/37841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31824 ÷ 216
    31824 ÷ 65536     		x = 0.485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37841 ÷ 216
    37841 ÷ 65536     		y = 0.577407836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.02880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09050487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577407836914062 × 2 - 1) × π
    -0.154815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.48636778354509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09050487} λ = -0.09050487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.48636778354509))-π/2
    2×atan(0.614855631940254)-π/2
    2×0.551271208662666-π/2
    1.10254241732533-1.57079632675     		φ = -0.46825391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09050487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46825391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.828973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31824 KachelY 37841 -0.09050487 -0.46825391 -5.185547 -26.828973
    Oben rechts KachelX + 1 31825 KachelY 37841 -0.09040899 -0.46825391 -5.180054 -26.828973
    Unten links KachelX 31824 KachelY + 1 37842 -0.09050487 -0.46833946 -5.185547 -26.833874
    Unten rechts KachelX + 1 31825 KachelY + 1 37842 -0.09040899 -0.46833946 -5.180054 -26.833874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46825391--0.46833946) × R
    8.55499999999898e-05 × 6371000     		dl = 545.039049999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46825391--0.46833946) × R
    8.55499999999898e-05 × 6371000     		dr = 545.039049999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09050487--0.09040899) × cos(-0.46825391) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.892357708887686 × 6371000     		do = 545.098027163489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09050487--0.09040899) × cos(-0.46833946) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.892319094440206 × 6371000     		du = 545.074439471097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46825391)-sin(-0.46833946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892357708887686-0.892319094440206)×R²
    abs(-0.09040899--0.09050487)×3.86144474797678e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.86144474797678e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.86144474797678e-05×40589641000000     		ar = 297093.282956456m²