Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31823 / 37814
↖ ↑ ↗
← S 26.696545°
W  5.191040°		 ← 545.68 m → S 26.696545°
W  5.185547°		 →
↑
545.68 m
↓
↑
545.68 m
↓
S 26.701452°
W  5.191040°		 ← 545.65 m →
297 756 m²		 S 26.701452°
W  5.185547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485588073730469 y=0.577003479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485588073730469 × 216)
    floor (0.485588073730469 × 65536)
    floor (31823.5)     		tx = 31823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577003479003906 × 216)
    floor (0.577003479003906 × 65536)
    floor (37814.5)     		ty = 37814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31823 / 37814 ti = "16/31823/37814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31823/37814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31823 ÷ 216
    31823 ÷ 65536     		x = 0.485580444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37814 ÷ 216
    37814 ÷ 65536     		y = 0.576995849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485580444335938 × 2 - 1) × π
    -0.028839111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09060074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576995849609375 × 2 - 1) × π
    -0.15399169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.483779190965607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09060074} λ = -0.09060074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.483779190965607))-π/2
    2×atan(0.616449304461071)-π/2
    2×0.552426857851446-π/2
    1.10485371570289-1.57079632675     		φ = -0.46594261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09060074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.191040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46594261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.696545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31823 KachelY 37814 -0.09060074 -0.46594261 -5.191040 -26.696545
    Oben rechts KachelX + 1 31824 KachelY 37814 -0.09050487 -0.46594261 -5.185547 -26.696545
    Unten links KachelX 31823 KachelY + 1 37815 -0.09060074 -0.46602826 -5.191040 -26.701452
    Unten rechts KachelX + 1 31824 KachelY + 1 37815 -0.09050487 -0.46602826 -5.185547 -26.701452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46594261--0.46602826) × R
    8.56500000000482e-05 × 6371000     		dl = 545.676150000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46594261--0.46602826) × R
    8.56500000000482e-05 × 6371000     		dr = 545.676150000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09060074--0.09050487) × cos(-0.46594261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893398480766159 × 6371000     		do = 545.676865788538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09060074--0.09050487) × cos(-0.46602826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893359997931106 × 6371000     		du = 545.653360943533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46594261)-sin(-0.46602826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893398480766159-0.893359997931106)×R²
    abs(-0.09050487--0.09060074)×3.84828350530331e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84828350530331e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84828350530331e-05×40589641000000     		ar = 297756.43843319m²