Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31822 / 37817
↖ ↑ ↗
← S 26.711267°
W  5.196533°		 ← 545.61 m → S 26.711267°
W  5.191040°		 →
↑
545.68 m
↓
↑
545.68 m
↓
S 26.716174°
W  5.196533°		 ← 545.58 m →
297 718 m²		 S 26.716174°
W  5.191040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485572814941406 y=0.577049255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485572814941406 × 216)
    floor (0.485572814941406 × 65536)
    floor (31822.5)     		tx = 31822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577049255371094 × 216)
    floor (0.577049255371094 × 65536)
    floor (37817.5)     		ty = 37817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31822 / 37817 ti = "16/31822/37817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31822/37817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31822 ÷ 216
    31822 ÷ 65536     		x = 0.485565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37817 ÷ 216
    37817 ÷ 65536     		y = 0.577041625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485565185546875 × 2 - 1) × π
    -0.02886962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09069661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577041625976562 × 2 - 1) × π
    -0.154083251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.484066812363327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09069661} λ = -0.09069661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.484066812363327))-π/2
    2×atan(0.616272025946267)-π/2
    2×0.552298385893691-π/2
    1.10459677178738-1.57079632675     		φ = -0.46619955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09069661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.196533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46619955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.711267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31822 KachelY 37817 -0.09069661 -0.46619955 -5.196533 -26.711267
    Oben rechts KachelX + 1 31823 KachelY 37817 -0.09060074 -0.46619955 -5.191040 -26.711267
    Unten links KachelX 31822 KachelY + 1 37818 -0.09069661 -0.46628520 -5.196533 -26.716174
    Unten rechts KachelX + 1 31823 KachelY + 1 37818 -0.09060074 -0.46628520 -5.191040 -26.716174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46619955--0.46628520) × R
    8.56499999999927e-05 × 6371000     		dl = 545.676149999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46619955--0.46628520) × R
    8.56499999999927e-05 × 6371000     		dr = 545.676149999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09069661--0.09060074) × cos(-0.46619955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89328301709537 × 6371000     		do = 545.606341990541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09069661--0.09060074) × cos(-0.46628520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89324451460107 × 6371000     		du = 545.582825137908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46619955)-sin(-0.46628520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89328301709537-0.89324451460107)×R²
    abs(-0.09060074--0.09069661)×3.85024943000412e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85024943000412e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85024943000412e-05×40589641000000     		ar = 297717.952002314m²