Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31818 / 21429
↖ ↑ ↗
← S 48.378145°
E169.562988°		 ← 811.43 m → S 48.378145°
E169.573974°		 →
↑
811.41 m
↓
↑
811.41 m
↓
S 48.385442°
E169.562988°		 ← 811.31 m →
658 353 m²		 S 48.385442°
E169.573974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.971023559570312 y=0.653976440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.971023559570312 × 215)
    floor (0.971023559570312 × 32768)
    floor (31818.5)     		tx = 31818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653976440429688 × 215)
    floor (0.653976440429688 × 32768)
    floor (21429.5)     		ty = 21429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31818 / 21429 ti = "15/31818/21429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31818/21429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31818 ÷ 215
    31818 ÷ 32768     		x = 0.97100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21429 ÷ 215
    21429 ÷ 32768     		y = 0.653961181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.97100830078125 × 2 - 1) × π
    0.9420166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.95943243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.30792236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.967366634332733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95943243} λ = 2.95943243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967366634332733))-π/2
    2×atan(0.380082617912918)-π/2
    2×0.363219201178564-π/2
    0.726438402357128-1.57079632675     		φ = -0.84435792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95943243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.562988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84435792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.378145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31818 KachelY 21429 2.95943243 -0.84435792 169.562988 -48.378145
    Oben rechts KachelX + 1 31819 KachelY 21429 2.95962418 -0.84435792 169.573974 -48.378145
    Unten links KachelX 31818 KachelY + 1 21430 2.95943243 -0.84448528 169.562988 -48.385442
    Unten rechts KachelX + 1 31819 KachelY + 1 21430 2.95962418 -0.84448528 169.573974 -48.385442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84435792--0.84448528) × R
    0.000127360000000021 × 6371000     		dl = 811.410560000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84435792--0.84448528) × R
    0.000127360000000021 × 6371000     		dr = 811.410560000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95943243-2.95962418) × cos(-0.84435792) × R
    0.000191749999999935 × 0.664211402928441 × 6371000     		do = 811.426720114674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95943243-2.95962418) × cos(-0.84448528) × R
    0.000191749999999935 × 0.664116190237372 × 6371000     		du = 811.310404554165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84435792)-sin(-0.84448528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664211402928441-0.664116190237372)×R²
    abs(2.95962418-2.95943243)×9.52126910693796e-05×R²
    0.000191749999999935×9.52126910693796e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.52126910693796e-05×40589641000000     		ar = 658353.020419793m²