Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31815 / 37824
↖ ↑ ↗
← S 26.745610°
W  5.234985°		 ← 545.44 m → S 26.745610°
W  5.229492°		 →
↑
545.49 m
↓
↑
545.49 m
↓
S 26.750516°
W  5.234985°		 ← 545.42 m →
297 524 m²		 S 26.750516°
W  5.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485466003417969 y=0.577156066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485466003417969 × 216)
    floor (0.485466003417969 × 65536)
    floor (31815.5)     		tx = 31815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577156066894531 × 216)
    floor (0.577156066894531 × 65536)
    floor (37824.5)     		ty = 37824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31815 / 37824 ti = "16/31815/37824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31815/37824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31815 ÷ 216
    31815 ÷ 65536     		x = 0.485458374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37824 ÷ 216
    37824 ÷ 65536     		y = 0.5771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485458374023438 × 2 - 1) × π
    -0.029083251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09136773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5771484375 × 2 - 1) × π
    -0.154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.484737928958008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09136773} λ = -0.09136773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.484737928958008))-π/2
    2×atan(0.615858574315461)-π/2
    2×0.551998682591159-π/2
    1.10399736518232-1.57079632675     		φ = -0.46679896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09136773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.234985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46679896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.745610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31815 KachelY 37824 -0.09136773 -0.46679896 -5.234985 -26.745610
    Oben rechts KachelX + 1 31816 KachelY 37824 -0.09127186 -0.46679896 -5.229492 -26.745610
    Unten links KachelX 31815 KachelY + 1 37825 -0.09136773 -0.46688458 -5.234985 -26.750516
    Unten rechts KachelX + 1 31816 KachelY + 1 37825 -0.09127186 -0.46688458 -5.229492 -26.750516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46679896--0.46688458) × R
    8.56200000000085e-05 × 6371000     		dl = 545.485020000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46679896--0.46688458) × R
    8.56200000000085e-05 × 6371000     		dr = 545.485020000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09136773--0.09127186) × cos(-0.46679896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893013425041148 × 6371000     		do = 545.441678460933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09136773--0.09127186) × cos(-0.46688458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892974890197277 × 6371000     		du = 545.418141849578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46679896)-sin(-0.46688458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893013425041148-0.892974890197277)×R²
    abs(-0.09127186--0.09136773)×3.853484387073e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.853484387073e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.853484387073e-05×40589641000000     		ar = 297523.845631536m²