Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31813 / 21426
↖ ↑ ↗
← S 48.356249°
E169.508057°		 ← 811.73 m → S 48.356249°
E169.519043°		 →
↑
811.73 m
↓
↑
811.73 m
↓
S 48.363549°
E169.508057°		 ← 811.62 m →
658 860 m²		 S 48.363549°
E169.519043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.970870971679688 y=0.653884887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.970870971679688 × 215)
    floor (0.970870971679688 × 32768)
    floor (31813.5)     		tx = 31813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653884887695312 × 215)
    floor (0.653884887695312 × 32768)
    floor (21426.5)     		ty = 21426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31813 / 21426 ti = "15/31813/21426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31813/21426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31813 ÷ 215
    31813 ÷ 32768     		x = 0.970855712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21426 ÷ 215
    21426 ÷ 32768     		y = 0.65386962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.970855712890625 × 2 - 1) × π
    0.94171142578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.95847370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.3077392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.966791391537293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95847370} λ = 2.95847370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966791391537293))-π/2
    2×atan(0.380301320598086)-π/2
    2×0.36341028366673-π/2
    0.72682056733346-1.57079632675     		φ = -0.84397576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95847370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.508057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84397576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.356249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31813 KachelY 21426 2.95847370 -0.84397576 169.508057 -48.356249
    Oben rechts KachelX + 1 31814 KachelY 21426 2.95866544 -0.84397576 169.519043 -48.356249
    Unten links KachelX 31813 KachelY + 1 21427 2.95847370 -0.84410317 169.508057 -48.363549
    Unten rechts KachelX + 1 31814 KachelY + 1 21427 2.95866544 -0.84410317 169.519043 -48.363549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84397576--0.84410317) × R
    0.00012741000000005 × 6371000     		dl = 811.729110000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84397576--0.84410317) × R
    0.00012741000000005 × 6371000     		dr = 811.729110000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95847370-2.95866544) × cos(-0.84397576) × R
    0.000191739999999996 × 0.664497036135423 × 6371000     		do = 811.733325745511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95847370-2.95866544) × cos(-0.84410317) × R
    0.000191739999999996 × 0.664401818408641 × 6371000     		du = 811.6170100995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84397576)-sin(-0.84410317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664497036135423-0.664401818408641)×R²
    abs(2.95866544-2.95847370)×9.52177267821153e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52177267821153e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52177267821153e-05×40589641000000     		ar = 658860.362557836m²