Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31812 / 38343
↖ ↑ ↗
← S 29.262441°
W  5.251465°		 ← 532.85 m → S 29.262441°
W  5.245972°		 →
↑
532.87 m
↓
↑
532.87 m
↓
S 29.267233°
W  5.251465°		 ← 532.82 m →
283 931 m²		 S 29.267233°
W  5.245972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485420227050781 y=0.585075378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485420227050781 × 216)
    floor (0.485420227050781 × 65536)
    floor (31812.5)     		tx = 31812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585075378417969 × 216)
    floor (0.585075378417969 × 65536)
    floor (38343.5)     		ty = 38343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31812 / 38343 ti = "16/31812/38343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31812/38343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31812 ÷ 216
    31812 ÷ 65536     		x = 0.48541259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38343 ÷ 216
    38343 ÷ 65536     		y = 0.585067749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48541259765625 × 2 - 1) × π
    -0.0291748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09165535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585067749023438 × 2 - 1) × π
    -0.170135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.534496430763626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09165535} λ = -0.09165535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534496430763626))-π/2
    2×atan(0.585964289452054)-π/2
    2×0.530035193867958-π/2
    1.06007038773592-1.57079632675     		φ = -0.51072594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09165535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.251465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51072594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.262441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31812 KachelY 38343 -0.09165535 -0.51072594 -5.251465 -29.262441
    Oben rechts KachelX + 1 31813 KachelY 38343 -0.09155948 -0.51072594 -5.245972 -29.262441
    Unten links KachelX 31812 KachelY + 1 38344 -0.09165535 -0.51080958 -5.251465 -29.267233
    Unten rechts KachelX + 1 31813 KachelY + 1 38344 -0.09155948 -0.51080958 -5.245972 -29.267233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51072594--0.51080958) × R
    8.36399999999404e-05 × 6371000     		dl = 532.87043999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51072594--0.51080958) × R
    8.36399999999404e-05 × 6371000     		dr = 532.87043999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09165535--0.09155948) × cos(-0.51072594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872389890322959 × 6371000     		do = 532.845075680893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09165535--0.09155948) × cos(-0.51080958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872349003146403 × 6371000     		du = 532.820102293503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51072594)-sin(-0.51080958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872389890322959-0.872349003146403)×R²
    abs(-0.09155948--0.09165535)×4.0887176555926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0887176555926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0887176555926e-05×40589641000000     		ar = 283930.73630521m²