Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3181 / 3052
↖ ↑ ↗
← S 65.802776°
E 99.580078°		 ← 4 005.74 m → S 65.802776°
E 99.667969°		 →
↑
4 002.96 m
↓
↑
4 002.96 m
↓
S 65.838776°
E 99.580078°		 ← 4 000.14 m →
16 023 619 m²		 S 65.838776°
E 99.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7767333984375 y=0.7452392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7767333984375 × 212)
    floor (0.7767333984375 × 4096)
    floor (3181.5)     		tx = 3181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7452392578125 × 212)
    floor (0.7452392578125 × 4096)
    floor (3052.5)     		ty = 3052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3181 / 3052 ti = "12/3181/3052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3181/3052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3181 ÷ 212
    3181 ÷ 4096     		x = 0.776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3052 ÷ 212
    3052 ÷ 4096     		y = 0.7451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776611328125 × 2 - 1) × π
    0.55322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73800023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7451171875 × 2 - 1) × π
    -0.490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54011671099316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73800023} λ = 1.73800023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54011671099316))-π/2
    2×atan(0.214356082255749)-π/2
    2×0.211160610897234-π/2
    0.422321221794468-1.57079632675     		φ = -1.14847510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73800023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14847510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.802776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3181 KachelY 3052 1.73800023 -1.14847510 99.580078 -65.802776
    Oben rechts KachelX + 1 3182 KachelY 3052 1.73953421 -1.14847510 99.667969 -65.802776
    Unten links KachelX 3181 KachelY + 1 3053 1.73800023 -1.14910341 99.580078 -65.838776
    Unten rechts KachelX + 1 3182 KachelY + 1 3053 1.73953421 -1.14910341 99.667969 -65.838776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14847510--1.14910341) × R
    0.000628309999999965 × 6371000     		dl = 4002.96300999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14847510--1.14910341) × R
    0.000628309999999965 × 6371000     		dr = 4002.96300999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73800023-1.73953421) × cos(-1.14847510) × R
    0.00153398000000005 × 0.409878839145317 × 6371000     		do = 4005.74039439328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73800023-1.73953421) × cos(-1.14910341) × R
    0.00153398000000005 × 0.409305651609581 × 6371000     		du = 4000.13864029871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14847510)-sin(-1.14910341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409878839145317-0.409305651609581)×R²
    abs(1.73953421-1.73800023)×0.000573187535736375×R²
    0.00153398000000005×0.000573187535736375×6371000²
    0.00153398000000005×0.000573187535736375×40589641000000     		ar = 16023619.3463388m²