Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31805 / 23510
↖ ↑ ↗
← N 74.806106°
W 92.644958°		 ← 80.05 m → N 74.806106°
W 92.642212°		 →
↑
80.08 m
↓
↑
80.08 m
↓
N 74.805386°
W 92.644958°		 ← 80.05 m →
6 411 m²		 N 74.805386°
W 92.642212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242656707763672 y=0.179370880126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242656707763672 × 217)
    floor (0.242656707763672 × 131072)
    floor (31805.5)     		tx = 31805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179370880126953 × 217)
    floor (0.179370880126953 × 131072)
    floor (23510.5)     		ty = 23510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31805 / 23510 ti = "17/31805/23510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31805/23510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31805 ÷ 217
    31805 ÷ 131072     		x = 0.242652893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23510 ÷ 217
    23510 ÷ 131072     		y = 0.179367065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242652893066406 × 2 - 1) × π
    -0.514694213867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.61695956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179367065429688 × 2 - 1) × π
    0.641265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.01459614343248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61695956} λ = -1.61695956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01459614343248))-π/2
    2×atan(7.49769877479134)-π/2
    2×1.43820458630314-π/2
    2.87640917260629-1.57079632675     		φ = 1.30561285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61695956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.644958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30561285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.806106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31805 KachelY 23510 -1.61695956 1.30561285 -92.644958 74.806106
    Oben rechts KachelX + 1 31806 KachelY 23510 -1.61691162 1.30561285 -92.642212 74.806106
    Unten links KachelX 31805 KachelY + 1 23511 -1.61695956 1.30560028 -92.644958 74.805386
    Unten rechts KachelX + 1 31806 KachelY + 1 23511 -1.61691162 1.30560028 -92.642212 74.805386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30561285-1.30560028) × R
    1.25699999999895e-05 × 6371000     		dl = 80.0834699999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30561285-1.30560028) × R
    1.25699999999895e-05 × 6371000     		dr = 80.0834699999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61695956--1.61691162) × cos(1.30561285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.262086335818949 × 6371000     		do = 80.0479130613387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61695956--1.61691162) × cos(1.30560028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.262098466406733 × 6371000     		du = 80.0516180550892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30561285)-sin(1.30560028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262086335818949-0.262098466406733)×R²
    abs(-1.61691162--1.61695956)×1.21305877839317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21305877839317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21305877839317e-05×40589641000000     		ar = 6410.6629987375m²