Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3180 / 3046
↖ ↑ ↗
← S 65.585720°
E 99.492187°		 ← 4 039.48 m → S 65.585720°
E 99.580078°		 →
↑
4 036.67 m
↓
↑
4 036.67 m
↓
S 65.622023°
E 99.492187°		 ← 4 033.84 m →
16 294 657 m²		 S 65.622023°
E 99.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7764892578125 y=0.7437744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7764892578125 × 212)
    floor (0.7764892578125 × 4096)
    floor (3180.5)     		tx = 3180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7437744140625 × 212)
    floor (0.7437744140625 × 4096)
    floor (3046.5)     		ty = 3046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3180 / 3046 ti = "12/3180/3046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3180/3046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3180 ÷ 212
    3180 ÷ 4096     		x = 0.7763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3046 ÷ 212
    3046 ÷ 4096     		y = 0.74365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7763671875 × 2 - 1) × π
    0.552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73646625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74365234375 × 2 - 1) × π
    -0.4873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53091282626611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73646625} λ = 1.73646625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53091282626611))-π/2
    2×atan(0.216338098058253)-π/2
    2×0.213054785057659-π/2
    0.426109570115318-1.57079632675     		φ = -1.14468676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73646625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.492187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14468676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.585720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3180 KachelY 3046 1.73646625 -1.14468676 99.492187 -65.585720
    Oben rechts KachelX + 1 3181 KachelY 3046 1.73800023 -1.14468676 99.580078 -65.585720
    Unten links KachelX 3180 KachelY + 1 3047 1.73646625 -1.14532036 99.492187 -65.622023
    Unten rechts KachelX + 1 3181 KachelY + 1 3047 1.73800023 -1.14532036 99.580078 -65.622023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14468676--1.14532036) × R
    0.000633600000000012 × 6371000     		dl = 4036.66560000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14468676--1.14532036) × R
    0.000633600000000012 × 6371000     		dr = 4036.66560000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73646625-1.73800023) × cos(-1.14468676) × R
    0.00153397999999982 × 0.413331386050995 × 6371000     		do = 4039.48208896871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73646625-1.73800023) × cos(-1.14532036) × R
    0.00153397999999982 × 0.412754359208324 × 6371000     		du = 4033.84281337899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14468676)-sin(-1.14532036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413331386050995-0.412754359208324)×R²
    abs(1.73800023-1.73646625)×0.000577026842670914×R²
    0.00153397999999982×0.000577026842670914×6371000²
    0.00153397999999982×0.000577026842670914×40589641000000     		ar = 16294657.0005861m²