Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31798 / 23486
↖ ↑ ↗
← N 74.823373°
W 92.664185°		 ← 79.96 m → N 74.823373°
W 92.661438°		 →
↑
79.96 m
↓
↑
79.96 m
↓
N 74.822654°
W 92.664185°		 ← 79.96 m →
6 393 m²		 N 74.822654°
W 92.661438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242603302001953 y=0.179187774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242603302001953 × 217)
    floor (0.242603302001953 × 131072)
    floor (31798.5)     		tx = 31798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179187774658203 × 217)
    floor (0.179187774658203 × 131072)
    floor (23486.5)     		ty = 23486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31798 / 23486 ti = "17/31798/23486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31798/23486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31798 ÷ 217
    31798 ÷ 131072     		x = 0.242599487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23486 ÷ 217
    23486 ÷ 131072     		y = 0.179183959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242599487304688 × 2 - 1) × π
    -0.514801025390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.61729512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179183959960938 × 2 - 1) × π
    0.641632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.01574662902336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61729512} λ = -1.61729512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01574662902336))-π/2
    2×atan(7.50632973314111)-π/2
    2×1.43835526591667-π/2
    2.87671053183333-1.57079632675     		φ = 1.30591421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61729512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.664185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30591421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.823373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31798 KachelY 23486 -1.61729512 1.30591421 -92.664185 74.823373
    Oben rechts KachelX + 1 31799 KachelY 23486 -1.61724718 1.30591421 -92.661438 74.823373
    Unten links KachelX 31798 KachelY + 1 23487 -1.61729512 1.30590166 -92.664185 74.822654
    Unten rechts KachelX + 1 31799 KachelY + 1 23487 -1.61724718 1.30590166 -92.661438 74.822654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30591421-1.30590166) × R
    1.25500000001111e-05 × 6371000     		dl = 79.9560500007077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30591421-1.30590166) × R
    1.25500000001111e-05 × 6371000     		dr = 79.9560500007077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61729512--1.61724718) × cos(1.30591421) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.261795498132758 × 6371000     		do = 79.9590837461842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61729512--1.61724718) × cos(1.30590166) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.261807610410421 × 6371000     		du = 79.9627831475524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30591421)-sin(1.30590166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.261795498132758-0.261807610410421)×R²
    abs(-1.61724718--1.61729512)×1.21122776625127e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.21122776625127e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.21122776625127e-05×40589641000000     		ar = 6393.36039298589m²