Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31797 / 21436
↖ ↑ ↗
← S 48.429200°
E169.332276°		 ← 810.57 m → S 48.429200°
E169.343262°		 →
↑
810.58 m
↓
↑
810.58 m
↓
S 48.436490°
E169.332276°		 ← 810.45 m →
656 987 m²		 S 48.436490°
E169.343262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.970382690429688 y=0.654190063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.970382690429688 × 215)
    floor (0.970382690429688 × 32768)
    floor (31797.5)     		tx = 31797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654190063476562 × 215)
    floor (0.654190063476562 × 32768)
    floor (21436.5)     		ty = 21436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31797 / 21436 ti = "15/31797/21436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31797/21436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31797 ÷ 215
    31797 ÷ 32768     		x = 0.970367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21436 ÷ 215
    21436 ÷ 32768     		y = 0.6541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.970367431640625 × 2 - 1) × π
    0.94073486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.95540574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6541748046875 × 2 - 1) × π
    -0.308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.968708867522095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95540574} λ = 2.95540574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968708867522095))-π/2
    2×atan(0.379572800631833)-π/2
    2×0.362773661504966-π/2
    0.725547323009933-1.57079632675     		φ = -0.84524900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95540574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.332276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84524900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.429200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31797 KachelY 21436 2.95540574 -0.84524900 169.332276 -48.429200
    Oben rechts KachelX + 1 31798 KachelY 21436 2.95559748 -0.84524900 169.343262 -48.429200
    Unten links KachelX 31797 KachelY + 1 21437 2.95540574 -0.84537623 169.332276 -48.436490
    Unten rechts KachelX + 1 31798 KachelY + 1 21437 2.95559748 -0.84537623 169.343262 -48.436490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84524900--0.84537623) × R
    0.000127229999999923 × 6371000     		dl = 810.582329999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84524900--0.84537623) × R
    0.000127229999999923 × 6371000     		dr = 810.582329999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95540574-2.95559748) × cos(-0.84524900) × R
    0.00019174000000044 × 0.663545017105883 × 6371000     		do = 810.570362587288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95540574-2.95559748) × cos(-0.84537623) × R
    0.00019174000000044 × 0.663449826346744 × 6371000     		du = 810.454079884289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84524900)-sin(-0.84537623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663545017105883-0.663449826346744)×R²
    abs(2.95559748-2.95540574)×9.51907591394408e-05×R²
    0.00019174000000044×9.51907591394408e-05×6371000²
    0.00019174000000044×9.51907591394408e-05×40589641000000     		ar = 656986.88566848m²