Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31796 / 23468
↖ ↑ ↗
← N 74.836310°
W 92.669678°		 ← 79.88 m → N 74.836310°
W 92.666931°		 →
↑
79.89 m
↓
↑
79.89 m
↓
N 74.835592°
W 92.669678°		 ← 79.88 m →
6 382 m²		 N 74.835592°
W 92.666931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242588043212891 y=0.179050445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242588043212891 × 217)
    floor (0.242588043212891 × 131072)
    floor (31796.5)     		tx = 31796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179050445556641 × 217)
    floor (0.179050445556641 × 131072)
    floor (23468.5)     		ty = 23468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31796 / 23468 ti = "17/31796/23468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31796/23468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31796 ÷ 217
    31796 ÷ 131072     		x = 0.242584228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23468 ÷ 217
    23468 ÷ 131072     		y = 0.179046630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.51483154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.61739099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179046630859375 × 2 - 1) × π
    0.64190673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.01660949321652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61739099} λ = -1.61739099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01660949321652))-π/2
    2×atan(7.51280947145495)-π/2
    2×1.43846816588201-π/2
    2.87693633176401-1.57079632675     		φ = 1.30614001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61739099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.669678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30614001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.836310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31796 KachelY 23468 -1.61739099 1.30614001 -92.669678 74.836310
    Oben rechts KachelX + 1 31797 KachelY 23468 -1.61734306 1.30614001 -92.666931 74.836310
    Unten links KachelX 31796 KachelY + 1 23469 -1.61739099 1.30612747 -92.669678 74.835592
    Unten rechts KachelX + 1 31797 KachelY + 1 23469 -1.61734306 1.30612747 -92.666931 74.835592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30614001-1.30612747) × R
    1.25399999999498e-05 × 6371000     		dl = 79.8923399996803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30614001-1.30612747) × R
    1.25399999999498e-05 × 6371000     		dr = 79.8923399996803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61739099--1.61734306) × cos(1.30614001) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.261577566604012 × 6371000     		do = 79.8758567407101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61739099--1.61734306) × cos(1.30612747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.261589669971464 × 6371000     		du = 79.8795526495652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30614001)-sin(1.30612747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.261577566604012-0.261589669971464)×R²
    abs(-1.61734306--1.61739099)×1.21033674524429e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.21033674524429e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.21033674524429e-05×40589641000000     		ar = 6381.61674191494m²