Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31796 / 21438
↖ ↑ ↗
← S 48.443778°
E169.321289°		 ← 810.38 m → S 48.443778°
E169.332276°		 →
↑
810.33 m
↓
↑
810.33 m
↓
S 48.451066°
E169.321289°		 ← 810.26 m →
656 626 m²		 S 48.451066°
E169.332276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.970352172851562 y=0.654251098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.970352172851562 × 215)
    floor (0.970352172851562 × 32768)
    floor (31796.5)     		tx = 31796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654251098632812 × 215)
    floor (0.654251098632812 × 32768)
    floor (21438.5)     		ty = 21438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31796 / 21438 ti = "15/31796/21438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31796/21438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31796 ÷ 215
    31796 ÷ 32768     		x = 0.9703369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21438 ÷ 215
    21438 ÷ 32768     		y = 0.65423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9703369140625 × 2 - 1) × π
    0.940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.95521399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.3084716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.969092362719055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95521399} λ = 2.95521399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969092362719055))-π/2
    2×atan(0.37942726419394)-π/2
    2×0.362646446593647-π/2
    0.725292893187293-1.57079632675     		φ = -0.84550343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95521399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.321289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84550343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.443778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31796 KachelY 21438 2.95521399 -0.84550343 169.321289 -48.443778
    Oben rechts KachelX + 1 31797 KachelY 21438 2.95540574 -0.84550343 169.332276 -48.443778
    Unten links KachelX 31796 KachelY + 1 21439 2.95521399 -0.84563062 169.321289 -48.451066
    Unten rechts KachelX + 1 31797 KachelY + 1 21439 2.95540574 -0.84563062 169.332276 -48.451066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84550343--0.84563062) × R
    0.000127190000000055 × 6371000     		dl = 810.327490000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84550343--0.84563062) × R
    0.000127190000000055 × 6371000     		dr = 810.327490000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95521399-2.95540574) × cos(-0.84550343) × R
    0.000191749999999935 × 0.663354647297183 × 6371000     		do = 810.380073807871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95521399-2.95540574) × cos(-0.84563062) × R
    0.000191749999999935 × 0.663259464998546 × 6371000     		du = 810.26379537595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84550343)-sin(-0.84563062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663354647297183-0.663259464998546)×R²
    abs(2.95540574-2.95521399)×9.5182298637364e-05×R²
    0.000191749999999935×9.5182298637364e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.5182298637364e-05×40589641000000     		ar = 656626.140234918m²