Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31789 / 38507
↖ ↑ ↗
← S 30.045322°
W  5.377808°		 ← 528.72 m → S 30.045322°
W  5.372315°		 →
↑
528.73 m
↓
↑
528.73 m
↓
S 30.050077°
W  5.377808°		 ← 528.69 m →
279 541 m²		 S 30.050077°
W  5.372315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485069274902344 y=0.587577819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485069274902344 × 216)
    floor (0.485069274902344 × 65536)
    floor (31789.5)     		tx = 31789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587577819824219 × 216)
    floor (0.587577819824219 × 65536)
    floor (38507.5)     		ty = 38507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31789 / 38507 ti = "16/31789/38507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31789/38507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31789 ÷ 216
    31789 ÷ 65536     		x = 0.485061645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38507 ÷ 216
    38507 ÷ 65536     		y = 0.587570190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485061645507812 × 2 - 1) × π
    -0.029876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09386045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587570190429688 × 2 - 1) × π
    -0.175140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.550219733839005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09386045} λ = -0.09386045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550219733839005))-π/2
    2×atan(0.576823048911141)-π/2
    2×0.52320327011889-π/2
    1.04640654023778-1.57079632675     		φ = -0.52438979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09386045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.377808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52438979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.045322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31789 KachelY 38507 -0.09386045 -0.52438979 -5.377808 -30.045322
    Oben rechts KachelX + 1 31790 KachelY 38507 -0.09376458 -0.52438979 -5.372315 -30.045322
    Unten links KachelX 31789 KachelY + 1 38508 -0.09386045 -0.52447278 -5.377808 -30.050077
    Unten rechts KachelX + 1 31790 KachelY + 1 38508 -0.09376458 -0.52447278 -5.372315 -30.050077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52438979--0.52447278) × R
    8.2990000000005e-05 × 6371000     		dl = 528.729290000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52438979--0.52447278) × R
    8.2990000000005e-05 × 6371000     		dr = 528.729290000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09386045--0.09376458) × cos(-0.52438979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865629625687161 × 6371000     		do = 528.715988719384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09386045--0.09376458) × cos(-0.52447278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865588070867903 × 6371000     		du = 528.690607543997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52438979)-sin(-0.52447278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865629625687161-0.865588070867903)×R²
    abs(-0.09376458--0.09386045)×4.15548192580495e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.15548192580495e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.15548192580495e-05×40589641000000     		ar = 279540.919602201m²