Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31787 / 38506
↖ ↑ ↗
← S 30.040566°
W  5.388794°		 ← 528.80 m → S 30.040566°
W  5.383301°		 →
↑
528.79 m
↓
↑
528.79 m
↓
S 30.045322°
W  5.388794°		 ← 528.77 m →
279 617 m²		 S 30.045322°
W  5.383301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485038757324219 y=0.587562561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485038757324219 × 216)
    floor (0.485038757324219 × 65536)
    floor (31787.5)     		tx = 31787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587562561035156 × 216)
    floor (0.587562561035156 × 65536)
    floor (38506.5)     		ty = 38506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31787 / 38506 ti = "16/31787/38506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31787/38506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31787 ÷ 216
    31787 ÷ 65536     		x = 0.485031127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38506 ÷ 216
    38506 ÷ 65536     		y = 0.587554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485031127929688 × 2 - 1) × π
    -0.029937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09405220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.17510986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.550123860039764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09405220} λ = -0.09405220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550123860039764))-π/2
    2×atan(0.576878353779431)-π/2
    2×0.523244766715363-π/2
    1.04648953343073-1.57079632675     		φ = -0.52430679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09405220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.388794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52430679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.040566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31787 KachelY 38506 -0.09405220 -0.52430679 -5.388794 -30.040566
    Oben rechts KachelX + 1 31788 KachelY 38506 -0.09395632 -0.52430679 -5.383301 -30.040566
    Unten links KachelX 31787 KachelY + 1 38507 -0.09405220 -0.52438979 -5.388794 -30.045322
    Unten rechts KachelX + 1 31788 KachelY + 1 38507 -0.09395632 -0.52438979 -5.383301 -30.045322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52430679--0.52438979) × R
    8.29999999999442e-05 × 6371000     		dl = 528.792999999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52430679--0.52438979) × R
    8.29999999999442e-05 × 6371000     		dr = 528.792999999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09405220--0.09395632) × cos(-0.52430679) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.865671179550664 × 6371000     		do = 528.796521221905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09405220--0.09395632) × cos(-0.52438979) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.865629625687161 × 6371000     		du = 528.771137982885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52430679)-sin(-0.52438979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865671179550664-0.865629625687161)×R²
    abs(-0.09395632--0.09405220)×4.15538635027968e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.15538635027968e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.15538635027968e-05×40589641000000     		ar = 279617.18776731m²