Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 31783 / 29803
↖ ↑ ↗
← N 69.554675°
W 92.705383°		 ← 106.67 m → N 69.554675°
W 92.702637°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
N 69.553715°
W 92.705383°		 ← 106.67 m →
11 383 m²		 N 69.553715°
W 92.702637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242488861083984 y=0.227382659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242488861083984 × 217)
    floor (0.242488861083984 × 131072)
    floor (31783.5)     		tx = 31783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227382659912109 × 217)
    floor (0.227382659912109 × 131072)
    floor (29803.5)     		ty = 29803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31783 / 29803 ti = "17/31783/29803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31783/29803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31783 ÷ 217
    31783 ÷ 131072     		x = 0.242485046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29803 ÷ 217
    29803 ÷ 131072     		y = 0.227378845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242485046386719 × 2 - 1) × π
    -0.515029907226562 × 3.1415926535     		Λ = -1.61801417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227378845214844 × 2 - 1) × π
    0.545242309570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.71292923412347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61801417} λ = -1.61801417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71292923412347))-π/2
    2×atan(5.54518084381464)-π/2
    2×1.39237720706864-π/2
    2.78475441413727-1.57079632675     		φ = 1.21395809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61801417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.705383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21395809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.554675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31783 KachelY 29803 -1.61801417 1.21395809 -92.705383 69.554675
    Oben rechts KachelX + 1 31784 KachelY 29803 -1.61796624 1.21395809 -92.702637 69.554675
    Unten links KachelX 31783 KachelY + 1 29804 -1.61801417 1.21394134 -92.705383 69.553715
    Unten rechts KachelX + 1 31784 KachelY + 1 29804 -1.61796624 1.21394134 -92.702637 69.553715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21395809-1.21394134) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dl = 106.714249999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21395809-1.21394134) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dr = 106.714249999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61801417--1.61796624) × cos(1.21395809) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.349313393267763 × 6371000     		do = 106.667046874004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61801417--1.61796624) × cos(1.21394134) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.349329088068449 × 6371000     		du = 106.671839470201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21395809)-sin(1.21394134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349313393267763-0.349329088068449)×R²
    abs(-1.61796624--1.61801417)×1.56948006858615e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.56948006858615e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.56948006858615e-05×40589641000000     		ar = 11383.1496260861m²