Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31782 / 38511
↖ ↑ ↗
← S 30.064340°
W  5.416260°		 ← 528.67 m → S 30.064340°
W  5.410766°		 →
↑
528.60 m
↓
↑
528.60 m
↓
S 30.069094°
W  5.416260°		 ← 528.64 m →
279 449 m²		 S 30.069094°
W  5.410766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484962463378906 y=0.587638854980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484962463378906 × 216)
    floor (0.484962463378906 × 65536)
    floor (31782.5)     		tx = 31782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587638854980469 × 216)
    floor (0.587638854980469 × 65536)
    floor (38511.5)     		ty = 38511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31782 / 38511 ti = "16/31782/38511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31782/38511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31782 ÷ 216
    31782 ÷ 65536     		x = 0.484954833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38511 ÷ 216
    38511 ÷ 65536     		y = 0.587631225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484954833984375 × 2 - 1) × π
    -0.03009033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09453157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587631225585938 × 2 - 1) × π
    -0.175262451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.550603229035965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09453157} λ = -0.09453157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550603229035965))-π/2
    2×atan(0.576601882453235)-π/2
    2×0.523037303653849-π/2
    1.0460746073077-1.57079632675     		φ = -0.52472172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09453157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.416260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52472172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.064340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31782 KachelY 38511 -0.09453157 -0.52472172 -5.416260 -30.064340
    Oben rechts KachelX + 1 31783 KachelY 38511 -0.09443569 -0.52472172 -5.410766 -30.064340
    Unten links KachelX 31782 KachelY + 1 38512 -0.09453157 -0.52480469 -5.416260 -30.069094
    Unten rechts KachelX + 1 31783 KachelY + 1 38512 -0.09443569 -0.52480469 -5.410766 -30.069094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52472172--0.52480469) × R
    8.29700000000155e-05 × 6371000     		dl = 528.601870000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52472172--0.52480469) × R
    8.29700000000155e-05 × 6371000     		dr = 528.601870000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09453157--0.09443569) × cos(-0.52472172) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.865463385670843 × 6371000     		do = 528.669590022805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09453157--0.09443569) × cos(-0.52480469) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.86542181702994 × 6371000     		du = 528.644197756987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52472172)-sin(-0.52480469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865463385670843-0.86542181702994)×R²
    abs(-0.09443569--0.09453157)×4.15686409034333e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.15686409034333e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.15686409034333e-05×40589641000000     		ar = 279449.022858696m²