Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31782 / 29806
↖ ↑ ↗
← N 69.551797°
W 92.708130°		 ← 106.70 m → N 69.551797°
W 92.705383°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
N 69.550837°
W 92.708130°		 ← 106.71 m →
11 387 m²		 N 69.550837°
W 92.705383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242481231689453 y=0.227405548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242481231689453 × 217)
    floor (0.242481231689453 × 131072)
    floor (31782.5)     		tx = 31782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227405548095703 × 217)
    floor (0.227405548095703 × 131072)
    floor (29806.5)     		ty = 29806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31782 / 29806 ti = "17/31782/29806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31782/29806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31782 ÷ 217
    31782 ÷ 131072     		x = 0.242477416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29806 ÷ 217
    29806 ÷ 131072     		y = 0.227401733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242477416992188 × 2 - 1) × π
    -0.515045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.61806211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227401733398438 × 2 - 1) × π
    0.545196533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71278542342461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61806211} λ = -1.61806211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71278542342461))-π/2
    2×atan(5.54438344482081)-π/2
    2×1.39235208787448-π/2
    2.78470417574896-1.57079632675     		φ = 1.21390785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61806211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.708130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21390785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.551797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31782 KachelY 29806 -1.61806211 1.21390785 -92.708130 69.551797
    Oben rechts KachelX + 1 31783 KachelY 29806 -1.61801417 1.21390785 -92.705383 69.551797
    Unten links KachelX 31782 KachelY + 1 29807 -1.61806211 1.21389110 -92.708130 69.550837
    Unten rechts KachelX + 1 31783 KachelY + 1 29807 -1.61801417 1.21389110 -92.705383 69.550837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21390785-1.21389110) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dl = 106.71425000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21390785-1.21389110) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dr = 106.71425000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61806211--1.61801417) × cos(1.21390785) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.349360468005907 × 6371000     		do = 106.703679467875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61806211--1.61801417) × cos(1.21389110) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.349376162512612 × 6371000     		du = 106.708472974199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21390785)-sin(1.21389110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349360468005907-0.349376162512612)×R²
    abs(-1.61801417--1.61806211)×1.56945067054659e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.56945067054659e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.56945067054659e-05×40589641000000     		ar = 11387.0588948119m²