Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3178 / 3050
↖ ↑ ↗
← S 65.730626°
E 99.316406°		 ← 4 016.96 m → S 65.730626°
E 99.404297°		 →
↑
4 014.18 m
↓
↑
4 014.18 m
↓
S 65.766727°
E 99.316406°		 ← 4 011.35 m →
16 113 527 m²		 S 65.766727°
E 99.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7760009765625 y=0.7447509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7760009765625 × 212)
    floor (0.7760009765625 × 4096)
    floor (3178.5)     		tx = 3178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7447509765625 × 212)
    floor (0.7447509765625 × 4096)
    floor (3050.5)     		ty = 3050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3178 / 3050 ti = "12/3178/3050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3178/3050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3178 ÷ 212
    3178 ÷ 4096     		x = 0.77587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3050 ÷ 212
    3050 ÷ 4096     		y = 0.74462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77587890625 × 2 - 1) × π
    0.5517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73339829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74462890625 × 2 - 1) × π
    -0.4892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53704874941748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73339829} λ = 1.73339829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53704874941748))-π/2
    2×atan(0.215014728313403)-π/2
    2×0.211790237554783-π/2
    0.423580475109565-1.57079632675     		φ = -1.14721585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73339829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14721585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.730626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3178 KachelY 3050 1.73339829 -1.14721585 99.316406 -65.730626
    Oben rechts KachelX + 1 3179 KachelY 3050 1.73493227 -1.14721585 99.404297 -65.730626
    Unten links KachelX 3178 KachelY + 1 3051 1.73339829 -1.14784592 99.316406 -65.766727
    Unten rechts KachelX + 1 3179 KachelY + 1 3051 1.73493227 -1.14784592 99.404297 -65.766727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14721585--1.14784592) × R
    0.000630069999999927 × 6371000     		dl = 4014.17596999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14721585--1.14784592) × R
    0.000630069999999927 × 6371000     		dr = 4014.17596999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73339829-1.73493227) × cos(-1.14721585) × R
    0.00153398000000005 × 0.411027126132944 × 6371000     		do = 4016.96258771335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73339829-1.73493227) × cos(-1.14784592) × R
    0.00153398000000005 × 0.410452658209189 × 6371000     		du = 4011.34832040385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14721585)-sin(-1.14784592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411027126132944-0.410452658209189)×R²
    abs(1.73493227-1.73339829)×0.000574467923754707×R²
    0.00153398000000005×0.000574467923754707×6371000²
    0.00153398000000005×0.000574467923754707×40589641000000     		ar = 16113526.896599m²