Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31775 / 38477
↖ ↑ ↗
← S 29.902568°
W  5.454712°		 ← 529.48 m → S 29.902568°
W  5.449219°		 →
↑
529.49 m
↓
↑
529.49 m
↓
S 29.907329°
W  5.454712°		 ← 529.45 m →
280 348 m²		 S 29.907329°
W  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484855651855469 y=0.587120056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484855651855469 × 216)
    floor (0.484855651855469 × 65536)
    floor (31775.5)     		tx = 31775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587120056152344 × 216)
    floor (0.587120056152344 × 65536)
    floor (38477.5)     		ty = 38477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31775 / 38477 ti = "16/31775/38477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31775/38477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31775 ÷ 216
    31775 ÷ 65536     		x = 0.484848022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38477 ÷ 216
    38477 ÷ 65536     		y = 0.587112426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484848022460938 × 2 - 1) × π
    -0.030303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09520268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587112426757812 × 2 - 1) × π
    -0.174224853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.547343519861801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09520268} λ = -0.09520268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547343519861801))-π/2
    2×atan(0.578484503631056)-π/2
    2×0.524449033630415-π/2
    1.04889806726083-1.57079632675     		φ = -0.52189826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09520268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.454712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52189826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.902568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31775 KachelY 38477 -0.09520268 -0.52189826 -5.454712 -29.902568
    Oben rechts KachelX + 1 31776 KachelY 38477 -0.09510681 -0.52189826 -5.449219 -29.902568
    Unten links KachelX 31775 KachelY + 1 38478 -0.09520268 -0.52198137 -5.454712 -29.907329
    Unten rechts KachelX + 1 31776 KachelY + 1 38478 -0.09510681 -0.52198137 -5.449219 -29.907329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52189826--0.52198137) × R
    8.31100000000529e-05 × 6371000     		dl = 529.493810000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52189826--0.52198137) × R
    8.31100000000529e-05 × 6371000     		dr = 529.493810000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09520268--0.09510681) × cos(-0.52189826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866874409008191 × 6371000     		do = 529.476287148169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09520268--0.09510681) × cos(-0.52198137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866832973469636 × 6371000     		du = 529.450978827977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52189826)-sin(-0.52198137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866874409008191-0.866832973469636)×R²
    abs(-0.09510681--0.09520268)×4.1435538554957e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1435538554957e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1435538554957e-05×40589641000000     		ar = 280347.716448784m²