Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31774 / 38478
↖ ↑ ↗
← S 29.907329°
W  5.460205°		 ← 529.51 m → S 29.907329°
W  5.454712°		 →
↑
529.43 m
↓
↑
529.43 m
↓
S 29.912091°
W  5.460205°		 ← 529.48 m →
280 330 m²		 S 29.912091°
W  5.454712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484840393066406 y=0.587135314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484840393066406 × 216)
    floor (0.484840393066406 × 65536)
    floor (31774.5)     		tx = 31774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587135314941406 × 216)
    floor (0.587135314941406 × 65536)
    floor (38478.5)     		ty = 38478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31774 / 38478 ti = "16/31774/38478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31774/38478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31774 ÷ 216
    31774 ÷ 65536     		x = 0.484832763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38478 ÷ 216
    38478 ÷ 65536     		y = 0.587127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484832763671875 × 2 - 1) × π
    -0.03033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09529856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.17425537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.547439393661041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09529856} λ = -0.09529856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547439393661041))-π/2
    2×atan(0.578429044782459)-π/2
    2×0.524407479351988-π/2
    1.04881495870398-1.57079632675     		φ = -0.52198137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09529856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.460205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52198137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.907329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31774 KachelY 38478 -0.09529856 -0.52198137 -5.460205 -29.907329
    Oben rechts KachelX + 1 31775 KachelY 38478 -0.09520268 -0.52198137 -5.454712 -29.907329
    Unten links KachelX 31774 KachelY + 1 38479 -0.09529856 -0.52206447 -5.460205 -29.912091
    Unten rechts KachelX + 1 31775 KachelY + 1 38479 -0.09520268 -0.52206447 -5.454712 -29.912091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52198137--0.52206447) × R
    8.31000000000026e-05 × 6371000     		dl = 529.430100000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52198137--0.52206447) × R
    8.31000000000026e-05 × 6371000     		dr = 529.430100000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09529856--0.09520268) × cos(-0.52198137) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.866832973469636 × 6371000     		do = 529.506204756764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09529856--0.09520268) × cos(-0.52206447) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.866791536930336 × 6371000     		du = 529.480893185407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52198137)-sin(-0.52206447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866832973469636-0.866791536930336)×R²
    abs(-0.09520268--0.09529856)×4.14365392995553e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.14365392995553e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.14365392995553e-05×40589641000000     		ar = 280329.822742481m²