Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31772 / 29796
↖ ↑ ↗
← N 69.561390°
W 92.735596°		 ← 106.66 m → N 69.561390°
W 92.732849°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
N 69.560430°
W 92.735596°		 ← 106.66 m →
11 375 m²		 N 69.560430°
W 92.732849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242404937744141 y=0.227329254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242404937744141 × 217)
    floor (0.242404937744141 × 131072)
    floor (31772.5)     		tx = 31772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227329254150391 × 217)
    floor (0.227329254150391 × 131072)
    floor (29796.5)     		ty = 29796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31772 / 29796 ti = "17/31772/29796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31772/29796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31772 ÷ 217
    31772 ÷ 131072     		x = 0.242401123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29796 ÷ 217
    29796 ÷ 131072     		y = 0.227325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.51519775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.61854148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227325439453125 × 2 - 1) × π
    0.54534912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71326479242081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61854148} λ = -1.61854148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71326479242081))-π/2
    2×atan(5.5470418874839)-π/2
    2×1.39243580535994-π/2
    2.78487161071988-1.57079632675     		φ = 1.21407528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61854148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.735596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21407528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.561390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31772 KachelY 29796 -1.61854148 1.21407528 -92.735596 69.561390
    Oben rechts KachelX + 1 31773 KachelY 29796 -1.61849354 1.21407528 -92.732849 69.561390
    Unten links KachelX 31772 KachelY + 1 29797 -1.61854148 1.21405854 -92.735596 69.560430
    Unten rechts KachelX + 1 31773 KachelY + 1 29797 -1.61849354 1.21405854 -92.732849 69.560430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21407528-1.21405854) × R
    1.67400000001816e-05 × 6371000     		dl = 106.650540001157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21407528-1.21405854) × R
    1.67400000001816e-05 × 6371000     		dr = 106.650540001157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61854148--1.61849354) × cos(1.21407528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349203583141902 × 6371000     		do = 106.655762791697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61854148--1.61849354) × cos(1.21405854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349219269257764 × 6371000     		du = 106.660553735242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21407528)-sin(1.21405854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349203583141902-0.349219269257764)×R²
    abs(-1.61849354--1.61854148)×1.56861158620569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56861158620569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56861158620569e-05×40589641000000     		ar = 11375.1501745481m²