Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31763 / 37555
↖ ↑ ↗
← S 25.418470°
W  5.520630°		 ← 551.72 m → S 25.418470°
W  5.515136°		 →
↑
551.73 m
↓
↑
551.73 m
↓
S 25.423432°
W  5.520630°		 ← 551.70 m →
304 393 m²		 S 25.423432°
W  5.515136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484672546386719 y=0.573051452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484672546386719 × 216)
    floor (0.484672546386719 × 65536)
    floor (31763.5)     		tx = 31763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573051452636719 × 216)
    floor (0.573051452636719 × 65536)
    floor (37555.5)     		ty = 37555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31763 / 37555 ti = "16/31763/37555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31763/37555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31763 ÷ 216
    31763 ÷ 65536     		x = 0.484664916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37555 ÷ 216
    37555 ÷ 65536     		y = 0.573043823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484664916992188 × 2 - 1) × π
    -0.030670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09635317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573043823242188 × 2 - 1) × π
    -0.146087646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.458947876962418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09635317} λ = -0.09635317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458947876962418))-π/2
    2×atan(0.631948183099967)-π/2
    2×0.563580166202816-π/2
    1.12716033240563-1.57079632675     		φ = -0.44363599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09635317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.520630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44363599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.418470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31763 KachelY 37555 -0.09635317 -0.44363599 -5.520630 -25.418470
    Oben rechts KachelX + 1 31764 KachelY 37555 -0.09625729 -0.44363599 -5.515136 -25.418470
    Unten links KachelX 31763 KachelY + 1 37556 -0.09635317 -0.44372259 -5.520630 -25.423432
    Unten rechts KachelX + 1 31764 KachelY + 1 37556 -0.09625729 -0.44372259 -5.515136 -25.423432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44363599--0.44372259) × R
    8.65999999999922e-05 × 6371000     		dl = 551.728599999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44363599--0.44372259) × R
    8.65999999999922e-05 × 6371000     		dr = 551.728599999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09635317--0.09625729) × cos(-0.44363599) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.903196974403426 × 6371000     		do = 551.719208545893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09635317--0.09625729) × cos(-0.44372259) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.903159800018213 × 6371000     		du = 551.696500517667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44363599)-sin(-0.44372259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903196974403426-0.903159800018213)×R²
    abs(-0.09625729--0.09635317)×3.71743852130013e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.71743852130013e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.71743852130013e-05×40589641000000     		ar = 304393.002379938m²