Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31763 / 21460
↖ ↑ ↗
← S 48.603857°
E168.958740°		 ← 807.78 m → S 48.603857°
E168.969726°		 →
↑
807.78 m
↓
↑
807.78 m
↓
S 48.611122°
E168.958740°		 ← 807.66 m →
652 461 m²		 S 48.611122°
E168.969726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969345092773438 y=0.654922485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969345092773438 × 215)
    floor (0.969345092773438 × 32768)
    floor (31763.5)     		tx = 31763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654922485351562 × 215)
    floor (0.654922485351562 × 32768)
    floor (21460.5)     		ty = 21460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31763 / 21460 ti = "15/31763/21460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31763/21460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31763 ÷ 215
    31763 ÷ 32768     		x = 0.969329833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21460 ÷ 215
    21460 ÷ 32768     		y = 0.6549072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.969329833984375 × 2 - 1) × π
    0.93865966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.94888632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.309814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.97331080988562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94888632} λ = 2.94888632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97331080988562))-π/2
    2×atan(0.377830041594545)-π/2
    2×0.361249491189569-π/2
    0.722498982379139-1.57079632675     		φ = -0.84829734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94888632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.958740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84829734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.603857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31763 KachelY 21460 2.94888632 -0.84829734 168.958740 -48.603857
    Oben rechts KachelX + 1 31764 KachelY 21460 2.94907806 -0.84829734 168.969726 -48.603857
    Unten links KachelX 31763 KachelY + 1 21461 2.94888632 -0.84842413 168.958740 -48.611122
    Unten rechts KachelX + 1 31764 KachelY + 1 21461 2.94907806 -0.84842413 168.969726 -48.611122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84829734--0.84842413) × R
    0.000126790000000043 × 6371000     		dl = 807.779090000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84829734--0.84842413) × R
    0.000126790000000043 × 6371000     		dr = 807.779090000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94888632-2.94907806) × cos(-0.84829734) × R
    0.000191739999999996 × 0.661261363699339 × 6371000     		do = 807.780707442139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94888632-2.94907806) × cos(-0.84842413) × R
    0.000191739999999996 × 0.661166246157245 × 6371000     		du = 807.664514179292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84829734)-sin(-0.84842413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661261363699339-0.661166246157245)×R²
    abs(2.94907806-2.94888632)×9.51175420944583e-05×R²
    0.000191739999999996×9.51175420944583e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.51175420944583e-05×40589641000000     		ar = 652461.43640781m²