Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31762 / 23599
↖ ↑ ↗
← N 74.741908°
W 92.763062°		 ← 80.38 m → N 74.741908°
W 92.760315°		 →
↑
80.40 m
↓
↑
80.40 m
↓
N 74.741185°
W 92.763062°		 ← 80.38 m →
6 463 m²		 N 74.741185°
W 92.760315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242328643798828 y=0.180049896240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242328643798828 × 217)
    floor (0.242328643798828 × 131072)
    floor (31762.5)     		tx = 31762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.180049896240234 × 217)
    floor (0.180049896240234 × 131072)
    floor (23599.5)     		ty = 23599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31762 / 23599 ti = "17/31762/23599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31762/23599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31762 ÷ 217
    31762 ÷ 131072     		x = 0.242324829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23599 ÷ 217
    23599 ÷ 131072     		y = 0.180046081542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242324829101562 × 2 - 1) × π
    -0.515350341796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.61902085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.180046081542969 × 2 - 1) × π
    0.639907836914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.01032975936629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61902085} λ = -1.61902085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01032975936629))-π/2
    2×atan(7.4657788519479)-π/2
    2×1.43764435340975-π/2
    2.8752887068195-1.57079632675     		φ = 1.30449238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61902085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.763062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30449238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.741908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31762 KachelY 23599 -1.61902085 1.30449238 -92.763062 74.741908
    Oben rechts KachelX + 1 31763 KachelY 23599 -1.61897291 1.30449238 -92.760315 74.741908
    Unten links KachelX 31762 KachelY + 1 23600 -1.61902085 1.30447976 -92.763062 74.741185
    Unten rechts KachelX + 1 31763 KachelY + 1 23600 -1.61897291 1.30447976 -92.760315 74.741185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30449238-1.30447976) × R
    1.26199999999077e-05 × 6371000     		dl = 80.402019999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30449238-1.30447976) × R
    1.26199999999077e-05 × 6371000     		dr = 80.402019999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61902085--1.61897291) × cos(1.30449238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.263167474407062 × 6371000     		do = 80.3781206146552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61902085--1.61897291) × cos(1.30447976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.263179649533184 × 6371000     		du = 80.3818392115607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30449238)-sin(1.30447976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.263167474407062-0.263179649533184)×R²
    abs(-1.61897291--1.61902085)×1.2175126122338e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2175126122338e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2175126122338e-05×40589641000000     		ar = 6462.71275259282m²