Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3176 / 3062
↖ ↑ ↗
← S 66.160510°
E 99.140625°		 ← 3 950 m → S 66.160510°
E 99.228516°		 →
↑
3 947.28 m
↓
↑
3 947.28 m
↓
S 66.196009°
E 99.140625°		 ← 3 944.47 m →
15 580 845 m²		 S 66.196009°
E 99.228516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7755126953125 y=0.7476806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7755126953125 × 212)
    floor (0.7755126953125 × 4096)
    floor (3176.5)     		tx = 3176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7476806640625 × 212)
    floor (0.7476806640625 × 4096)
    floor (3062.5)     		ty = 3062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3176 / 3062 ti = "12/3176/3062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3176/3062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3176 ÷ 212
    3176 ÷ 4096     		x = 0.775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3062 ÷ 212
    3062 ÷ 4096     		y = 0.74755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775390625 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74755859375 × 2 - 1) × π
    -0.4951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55545651887158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73033033} λ = 1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55545651887158))-π/2
    2×atan(0.211092992705904)-π/2
    2×0.20803879136855-π/2
    0.4160775827371-1.57079632675     		φ = -1.15471874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15471874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.160510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3176 KachelY 3062 1.73033033 -1.15471874 99.140625 -66.160510
    Oben rechts KachelX + 1 3177 KachelY 3062 1.73186431 -1.15471874 99.228516 -66.160510
    Unten links KachelX 3176 KachelY + 1 3063 1.73033033 -1.15533831 99.140625 -66.196009
    Unten rechts KachelX + 1 3177 KachelY + 1 3063 1.73186431 -1.15533831 99.228516 -66.196009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15471874--1.15533831) × R
    0.000619570000000014 × 6371000     		dl = 3947.28047000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15471874--1.15533831) × R
    0.000619570000000014 × 6371000     		dr = 3947.28047000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73033033-1.73186431) × cos(-1.15471874) × R
    0.00153398000000005 × 0.40417581336684 × 6371000     		do = 3950.00479999483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73033033-1.73186431) × cos(-1.15533831) × R
    0.00153398000000005 × 0.403609026724576 × 6371000     		du = 3944.46560174626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15471874)-sin(-1.15533831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40417581336684-0.403609026724576)×R²
    abs(1.73186431-1.73033033)×0.00056678664226445×R²
    0.00153398000000005×0.00056678664226445×6371000²
    0.00153398000000005×0.00056678664226445×40589641000000     		ar = 15580844.9173074m²