Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3176 / 3049
↖ ↑ ↗
← S 65.694476°
E 99.140625°		 ← 4 022.58 m → S 65.694476°
E 99.228516°		 →
↑
4 019.78 m
↓
↑
4 019.78 m
↓
S 65.730626°
E 99.140625°		 ← 4 016.96 m →
16 158 613 m²		 S 65.730626°
E 99.228516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7755126953125 y=0.7445068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7755126953125 × 212)
    floor (0.7755126953125 × 4096)
    floor (3176.5)     		tx = 3176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7445068359375 × 212)
    floor (0.7445068359375 × 4096)
    floor (3049.5)     		ty = 3049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3176 / 3049 ti = "12/3176/3049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3176/3049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3176 ÷ 212
    3176 ÷ 4096     		x = 0.775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3049 ÷ 212
    3049 ÷ 4096     		y = 0.744384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775390625 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744384765625 × 2 - 1) × π
    -0.48876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53551476862964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73033033} λ = 1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53551476862964))-π/2
    2×atan(0.215344809880404)-π/2
    2×0.212105711920292-π/2
    0.424211423840584-1.57079632675     		φ = -1.14658490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14658490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.694476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3176 KachelY 3049 1.73033033 -1.14658490 99.140625 -65.694476
    Oben rechts KachelX + 1 3177 KachelY 3049 1.73186431 -1.14658490 99.228516 -65.694476
    Unten links KachelX 3176 KachelY + 1 3050 1.73033033 -1.14721585 99.140625 -65.730626
    Unten rechts KachelX + 1 3177 KachelY + 1 3050 1.73186431 -1.14721585 99.228516 -65.730626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14658490--1.14721585) × R
    0.00063095000000013 × 6371000     		dl = 4019.78245000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14658490--1.14721585) × R
    0.00063095000000013 × 6371000     		dr = 4019.78245000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73033033-1.73186431) × cos(-1.14658490) × R
    0.00153398000000005 × 0.411602232883906 × 6371000     		do = 4022.58309827257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73033033-1.73186431) × cos(-1.14721585) × R
    0.00153398000000005 × 0.411027126132944 × 6371000     		du = 4016.96258771335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14658490)-sin(-1.14721585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411602232883906-0.411027126132944)×R²
    abs(1.73186431-1.73033033)×0.000575106750962062×R²
    0.00153398000000005×0.000575106750962062×6371000²
    0.00153398000000005×0.000575106750962062×40589641000000     		ar = 16158612.8633101m²