Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31759 / 23598
↖ ↑ ↗
← N 74.742631°
W 92.771301°		 ← 80.37 m → N 74.742631°
W 92.768555°		 →
↑
80.40 m
↓
↑
80.40 m
↓
N 74.741908°
W 92.771301°		 ← 80.38 m →
6 462 m²		 N 74.741908°
W 92.768555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242305755615234 y=0.180042266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242305755615234 × 217)
    floor (0.242305755615234 × 131072)
    floor (31759.5)     		tx = 31759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.180042266845703 × 217)
    floor (0.180042266845703 × 131072)
    floor (23598.5)     		ty = 23598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31759 / 23598 ti = "17/31759/23598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31759/23598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31759 ÷ 217
    31759 ÷ 131072     		x = 0.242301940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23598 ÷ 217
    23598 ÷ 131072     		y = 0.180038452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242301940917969 × 2 - 1) × π
    -0.515396118164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.61916466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.180038452148438 × 2 - 1) × π
    0.639923095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.01037769626591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61916466} λ = -1.61916466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01037769626591))-π/2
    2×atan(7.46613674681743)-π/2
    2×1.4376506609803-π/2
    2.8753013219606-1.57079632675     		φ = 1.30450500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61916466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.771301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30450500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.742631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31759 KachelY 23598 -1.61916466 1.30450500 -92.771301 74.742631
    Oben rechts KachelX + 1 31760 KachelY 23598 -1.61911672 1.30450500 -92.768555 74.742631
    Unten links KachelX 31759 KachelY + 1 23599 -1.61916466 1.30449238 -92.771301 74.741908
    Unten rechts KachelX + 1 31760 KachelY + 1 23599 -1.61911672 1.30449238 -92.768555 74.741908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30450500-1.30449238) × R
    1.26200000001297e-05 × 6371000     		dl = 80.4020200008266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30450500-1.30449238) × R
    1.26200000001297e-05 × 6371000     		dr = 80.4020200008266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61916466--1.61911672) × cos(1.30450500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.263155299239026 × 6371000     		do = 80.3744020049482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61916466--1.61911672) × cos(1.30449238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.263167474407062 × 6371000     		du = 80.3781206146552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30450500)-sin(1.30449238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.263155299239026-0.263167474407062)×R²
    abs(-1.61911672--1.61916466)×1.21751680357551e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21751680357551e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21751680357551e-05×40589641000000     		ar = 6462.41376945606m²