Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31758 / 23597
↖ ↑ ↗
← N 74.743353°
W 92.774048°		 ← 80.37 m → N 74.743353°
W 92.771301°		 →
↑
80.34 m
↓
↑
80.34 m
↓
N 74.742631°
W 92.774048°		 ← 80.37 m →
6 457 m²		 N 74.742631°
W 92.771301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242298126220703 y=0.180034637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242298126220703 × 217)
    floor (0.242298126220703 × 131072)
    floor (31758.5)     		tx = 31758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.180034637451172 × 217)
    floor (0.180034637451172 × 131072)
    floor (23597.5)     		ty = 23597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31758 / 23597 ti = "17/31758/23597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31758/23597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31758 ÷ 217
    31758 ÷ 131072     		x = 0.242294311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23597 ÷ 217
    23597 ÷ 131072     		y = 0.180030822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242294311523438 × 2 - 1) × π
    -0.515411376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.61921260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.180030822753906 × 2 - 1) × π
    0.639938354492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.01042563316553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61921260} λ = -1.61921260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01042563316553))-π/2
    2×atan(7.46649465884374)-π/2
    2×1.43765696825914-π/2
    2.87531393651829-1.57079632675     		φ = 1.30451761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61921260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.774048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30451761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.743353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31758 KachelY 23597 -1.61921260 1.30451761 -92.774048 74.743353
    Oben rechts KachelX + 1 31759 KachelY 23597 -1.61916466 1.30451761 -92.771301 74.743353
    Unten links KachelX 31758 KachelY + 1 23598 -1.61921260 1.30450500 -92.774048 74.742631
    Unten rechts KachelX + 1 31759 KachelY + 1 23598 -1.61916466 1.30450500 -92.771301 74.742631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30451761-1.30450500) × R
    1.26099999999685e-05 × 6371000     		dl = 80.3383099997992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30451761-1.30450500) × R
    1.26099999999685e-05 × 6371000     		dr = 80.3383099997992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61921260--1.61916466) × cos(1.30451761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.263143133676647 × 6371000     		do = 80.3706863290562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61921260--1.61916466) × cos(1.30450500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.263155299239026 × 6371000     		du = 80.3744020049482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30451761)-sin(1.30450500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.263143133676647-0.263155299239026)×R²
    abs(-1.61916466--1.61921260)×1.21655623787631e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21655623787631e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21655623787631e-05×40589641000000     		ar = 6456.99436889421m²