Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31750 / 37576
↖ ↑ ↗
← S 25.522615°
W  5.592041°		 ← 551.24 m → S 25.522615°
W  5.586548°		 →
↑
551.22 m
↓
↑
551.22 m
↓
S 25.527572°
W  5.592041°		 ← 551.22 m →
303 849 m²		 S 25.527572°
W  5.586548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484474182128906 y=0.573371887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484474182128906 × 216)
    floor (0.484474182128906 × 65536)
    floor (31750.5)     		tx = 31750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573371887207031 × 216)
    floor (0.573371887207031 × 65536)
    floor (37576.5)     		ty = 37576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31750 / 37576 ti = "16/31750/37576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31750/37576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31750 ÷ 216
    31750 ÷ 65536     		x = 0.484466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37576 ÷ 216
    37576 ÷ 65536     		y = 0.5733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.03106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09759953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.146728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.46096122674646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09759953} λ = -0.09759953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46096122674646))-π/2
    2×atan(0.630677130328267)-π/2
    2×0.562671333744014-π/2
    1.12534266748803-1.57079632675     		φ = -0.44545366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09759953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.592041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44545366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.522615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31750 KachelY 37576 -0.09759953 -0.44545366 -5.592041 -25.522615
    Oben rechts KachelX + 1 31751 KachelY 37576 -0.09750365 -0.44545366 -5.586548 -25.522615
    Unten links KachelX 31750 KachelY + 1 37577 -0.09759953 -0.44554018 -5.592041 -25.527572
    Unten rechts KachelX + 1 31751 KachelY + 1 37577 -0.09750365 -0.44554018 -5.586548 -25.527572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44545366--0.44554018) × R
    8.65200000000343e-05 × 6371000     		dl = 551.218920000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44545366--0.44554018) × R
    8.65200000000343e-05 × 6371000     		dr = 551.218920000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09759953--0.09750365) × cos(-0.44545366) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.90241529099888 × 6371000     		do = 551.241716081334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09759953--0.09750365) × cos(-0.44554018) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.902378008981279 × 6371000     		du = 551.218942305705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44545366)-sin(-0.44554018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90241529099888-0.902378008981279)×R²
    abs(-0.09750365--0.09759953)×3.72820176004485e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.72820176004485e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.72820176004485e-05×40589641000000     		ar = 303848.586919129m²