Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31750 / 21492
↖ ↑ ↗
← S 48.835798°
E168.815918°		 ← 804.11 m → S 48.835798°
E168.826905°		 →
↑
804.02 m
↓
↑
804.02 m
↓
S 48.843028°
E168.815918°		 ← 803.99 m →
646 471 m²		 S 48.843028°
E168.826905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968948364257812 y=0.655899047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968948364257812 × 215)
    floor (0.968948364257812 × 32768)
    floor (31750.5)     		tx = 31750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655899047851562 × 215)
    floor (0.655899047851562 × 32768)
    floor (21492.5)     		ty = 21492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31750 / 21492 ti = "15/31750/21492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31750/21492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31750 ÷ 215
    31750 ÷ 32768     		x = 0.96893310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21492 ÷ 215
    21492 ÷ 32768     		y = 0.6558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96893310546875 × 2 - 1) × π
    0.9378662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.94639360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.311767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.979446733036987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94639360} λ = 2.94639360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979446733036987))-π/2
    2×atan(0.375518803536018)-π/2
    2×0.359225434128406-π/2
    0.718450868256812-1.57079632675     		φ = -0.85234546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94639360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.815918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85234546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.835798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31750 KachelY 21492 2.94639360 -0.85234546 168.815918 -48.835798
    Oben rechts KachelX + 1 31751 KachelY 21492 2.94658535 -0.85234546 168.826905 -48.835798
    Unten links KachelX 31750 KachelY + 1 21493 2.94639360 -0.85247166 168.815918 -48.843028
    Unten rechts KachelX + 1 31751 KachelY + 1 21493 2.94658535 -0.85247166 168.826905 -48.843028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85234546--0.85247166) × R
    0.000126199999999965 × 6371000     		dl = 804.020199999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85234546--0.85247166) × R
    0.000126199999999965 × 6371000     		dr = 804.020199999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94639360-2.94658535) × cos(-0.85234546) × R
    0.000191749999999935 × 0.658219234018474 × 6371000     		do = 804.106451381631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94639360-2.94658535) × cos(-0.85247166) × R
    0.000191749999999935 × 0.658124222097955 × 6371000     		du = 803.990381090307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85234546)-sin(-0.85247166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658219234018474-0.658124222097955)×R²
    abs(2.94658535-2.94639360)×9.50119205196387e-05×R²
    0.000191749999999935×9.50119205196387e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.50119205196387e-05×40589641000000     		ar = 646471.169289477m²