Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3175 / 3083
↖ ↑ ↗
← S 66.895596°
E 99.052734°		 ← 3 835 m → S 66.895596°
E 99.140625°		 →
↑
3 832.28 m
↓
↑
3 832.28 m
↓
S 66.930060°
E 99.052734°		 ← 3 829.59 m →
14 686 433 m²		 S 66.930060°
E 99.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7752685546875 y=0.7528076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7752685546875 × 212)
    floor (0.7752685546875 × 4096)
    floor (3175.5)     		tx = 3175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7528076171875 × 212)
    floor (0.7528076171875 × 4096)
    floor (3083.5)     		ty = 3083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3175 / 3083 ti = "12/3175/3083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3175/3083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3175 ÷ 212
    3175 ÷ 4096     		x = 0.775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3083 ÷ 212
    3083 ÷ 4096     		y = 0.752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775146484375 × 2 - 1) × π
    0.55029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72879635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.50537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58767011541626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72879635} λ = 1.72879635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58767011541626))-π/2
    2×atan(0.204401288794369)-π/2
    2×0.201623964155491-π/2
    0.403247928310981-1.57079632675     		φ = -1.16754840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72879635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16754840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.895596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3175 KachelY 3083 1.72879635 -1.16754840 99.052734 -66.895596
    Oben rechts KachelX + 1 3176 KachelY 3083 1.73033033 -1.16754840 99.140625 -66.895596
    Unten links KachelX 3175 KachelY + 1 3084 1.72879635 -1.16814992 99.052734 -66.930060
    Unten rechts KachelX + 1 3176 KachelY + 1 3084 1.73033033 -1.16814992 99.140625 -66.930060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16754840--1.16814992) × R
    0.000601520000000022 × 6371000     		dl = 3832.28392000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16754840--1.16814992) × R
    0.000601520000000022 × 6371000     		dr = 3832.28392000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72879635-1.73033033) × cos(-1.16754840) × R
    0.00153397999999982 × 0.392407821740388 × 6371000     		do = 3834.99637575541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72879635-1.73033033) × cos(-1.16814992) × R
    0.00153397999999982 × 0.3918544778977 × 6371000     		du = 3829.58855380669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16754840)-sin(-1.16814992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392407821740388-0.3918544778977)×R²
    abs(1.73033033-1.72879635)×0.00055334384268857×R²
    0.00153397999999982×0.00055334384268857×6371000²
    0.00153397999999982×0.00055334384268857×40589641000000     		ar = 14686433.2323417m²