Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31749 / 21499
↖ ↑ ↗
← S 48.886392°
E168.804932°		 ← 803.29 m → S 48.886392°
E168.815918°		 →
↑
803.19 m
↓
↑
803.19 m
↓
S 48.893615°
E168.804932°		 ← 803.18 m →
645 153 m²		 S 48.893615°
E168.815918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968917846679688 y=0.656112670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968917846679688 × 215)
    floor (0.968917846679688 × 32768)
    floor (31749.5)     		tx = 31749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656112670898438 × 215)
    floor (0.656112670898438 × 32768)
    floor (21499.5)     		ty = 21499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31749 / 21499 ti = "15/31749/21499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31749/21499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31749 ÷ 215
    31749 ÷ 32768     		x = 0.968902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21499 ÷ 215
    21499 ÷ 32768     		y = 0.656097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968902587890625 × 2 - 1) × π
    0.93780517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.94620185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656097412109375 × 2 - 1) × π
    -0.31219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.980788966226349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94620185} λ = 2.94620185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980788966226349))-π/2
    2×atan(0.375015107848838)-π/2
    2×0.35878391544212-π/2
    0.717567830884241-1.57079632675     		φ = -0.85322850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94620185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.804932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85322850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.886392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31749 KachelY 21499 2.94620185 -0.85322850 168.804932 -48.886392
    Oben rechts KachelX + 1 31750 KachelY 21499 2.94639360 -0.85322850 168.815918 -48.886392
    Unten links KachelX 31749 KachelY + 1 21500 2.94620185 -0.85335457 168.804932 -48.893615
    Unten rechts KachelX + 1 31750 KachelY + 1 21500 2.94639360 -0.85335457 168.815918 -48.893615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85322850--0.85335457) × R
    0.000126070000000089 × 6371000     		dl = 803.191970000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85322850--0.85335457) × R
    0.000126070000000089 × 6371000     		dr = 803.191970000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94620185-2.94639360) × cos(-0.85322850) × R
    0.000191749999999935 × 0.657554201741365 × 6371000     		do = 803.294021849398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94620185-2.94639360) × cos(-0.85335457) × R
    0.000191749999999935 × 0.657459214465196 × 6371000     		du = 803.177981664579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85322850)-sin(-0.85335457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657554201741365-0.657459214465196)×R²
    abs(2.94639360-2.94620185)×9.49872761698556e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49872761698556e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49872761698556e-05×40589641000000     		ar = 645152.707481326m²