Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31748 / 35837
↖ ↑ ↗
← S 16.620402°
W  5.603028°		 ← 585.33 m → S 16.620402°
W  5.597534°		 →
↑
585.30 m
↓
↑
585.30 m
↓
S 16.625665°
W  5.603028°		 ← 585.31 m →
342 592 m²		 S 16.625665°
W  5.597534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484443664550781 y=0.546836853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484443664550781 × 216)
    floor (0.484443664550781 × 65536)
    floor (31748.5)     		tx = 31748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546836853027344 × 216)
    floor (0.546836853027344 × 65536)
    floor (35837.5)     		ty = 35837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31748 / 35837 ti = "16/31748/35837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31748/35837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31748 ÷ 216
    31748 ÷ 65536     		x = 0.48443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35837 ÷ 216
    35837 ÷ 65536     		y = 0.546829223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.0311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09779128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546829223632812 × 2 - 1) × π
    -0.093658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.294236689867905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09779128} λ = -0.09779128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294236689867905))-π/2
    2×atan(0.745100112923304)-π/2
    2×0.640357798496839-π/2
    1.28071559699368-1.57079632675     		φ = -0.29008073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09779128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.603028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29008073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.620402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31748 KachelY 35837 -0.09779128 -0.29008073 -5.603028 -16.620402
    Oben rechts KachelX + 1 31749 KachelY 35837 -0.09769540 -0.29008073 -5.597534 -16.620402
    Unten links KachelX 31748 KachelY + 1 35838 -0.09779128 -0.29017260 -5.603028 -16.625665
    Unten rechts KachelX + 1 31749 KachelY + 1 35838 -0.09769540 -0.29017260 -5.597534 -16.625665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29008073--0.29017260) × R
    9.18699999999939e-05 × 6371000     		dl = 585.303769999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29008073--0.29017260) × R
    9.18699999999939e-05 × 6371000     		dr = 585.303769999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09779128--0.09769540) × cos(-0.29008073) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.958220787466992 × 6371000     		do = 585.330586190933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09779128--0.09769540) × cos(-0.29017260) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.958194505885482 × 6371000     		du = 585.314532047971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29008073)-sin(-0.29017260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958220787466992-0.958194505885482)×R²
    abs(-0.09769540--0.09779128)×2.62815815098572e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.62815815098572e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.62815815098572e-05×40589641000000     		ar = 342591.500759514m²