Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31748 / 23550
↖ ↑ ↗
← N 74.777286°
W 92.801513°		 ← 80.18 m → N 74.777286°
W 92.798767°		 →
↑
80.21 m
↓
↑
80.21 m
↓
N 74.776564°
W 92.801513°		 ← 80.18 m →
6 431 m²		 N 74.776564°
W 92.798767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242221832275391 y=0.179676055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242221832275391 × 217)
    floor (0.242221832275391 × 131072)
    floor (31748.5)     		tx = 31748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179676055908203 × 217)
    floor (0.179676055908203 × 131072)
    floor (23550.5)     		ty = 23550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31748 / 23550 ti = "17/31748/23550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31748/23550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31748 ÷ 217
    31748 ÷ 131072     		x = 0.242218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23550 ÷ 217
    23550 ÷ 131072     		y = 0.179672241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.51556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.61969196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179672241210938 × 2 - 1) × π
    0.640655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.01267866744768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61969196} λ = -1.61969196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01267866744768))-π/2
    2×atan(7.48333589209141)-π/2
    2×1.43795308155577-π/2
    2.87590616311154-1.57079632675     		φ = 1.30510984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61969196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.801513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30510984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.777286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31748 KachelY 23550 -1.61969196 1.30510984 -92.801513 74.777286
    Oben rechts KachelX + 1 31749 KachelY 23550 -1.61964403 1.30510984 -92.798767 74.777286
    Unten links KachelX 31748 KachelY + 1 23551 -1.61969196 1.30509725 -92.801513 74.776564
    Unten rechts KachelX + 1 31749 KachelY + 1 23551 -1.61964403 1.30509725 -92.798767 74.776564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30510984-1.30509725) × R
    1.259000000009e-05 × 6371000     		dl = 80.2108900005736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30510984-1.30509725) × R
    1.259000000009e-05 × 6371000     		dr = 80.2108900005736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61969196--1.61964403) × cos(1.30510984) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.262571729640978 × 6371000     		do = 80.1794363838293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61969196--1.61964403) × cos(1.30509725) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.262583877868244 × 6371000     		du = 80.183145991168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30510984)-sin(1.30509725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262571729640978-0.262583877868244)×R²
    abs(-1.61964403--1.61969196)×1.21482272656404e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.21482272656404e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.21482272656404e-05×40589641000000     		ar = 6431.41272761251m²