Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 31747 / 23551
↖ ↑ ↗
← N 74.776564°
W 92.804260°		 ← 80.20 m → N 74.776564°
W 92.801513°		 →
↑
80.21 m
↓
↑
80.21 m
↓
N 74.775843°
W 92.804260°		 ← 80.20 m →
6 433 m²		 N 74.775843°
W 92.801513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242214202880859 y=0.179683685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242214202880859 × 217)
    floor (0.242214202880859 × 131072)
    floor (31747.5)     		tx = 31747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179683685302734 × 217)
    floor (0.179683685302734 × 131072)
    floor (23551.5)     		ty = 23551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31747 / 23551 ti = "17/31747/23551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31747/23551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31747 ÷ 217
    31747 ÷ 131072     		x = 0.242210388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23551 ÷ 217
    23551 ÷ 131072     		y = 0.179679870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242210388183594 × 2 - 1) × π
    -0.515579223632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.61973990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179679870605469 × 2 - 1) × π
    0.640640258789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.01263073054806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61973990} λ = -1.61973990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01263073054806))-π/2
    2×atan(7.48297717276794)-π/2
    2×1.43794678797281-π/2
    2.87589357594561-1.57079632675     		φ = 1.30509725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61973990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.804260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30509725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.776564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31747 KachelY 23551 -1.61973990 1.30509725 -92.804260 74.776564
    Oben rechts KachelX + 1 31748 KachelY 23551 -1.61969196 1.30509725 -92.801513 74.776564
    Unten links KachelX 31747 KachelY + 1 23552 -1.61973990 1.30508466 -92.804260 74.775843
    Unten rechts KachelX + 1 31748 KachelY + 1 23552 -1.61969196 1.30508466 -92.801513 74.775843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30509725-1.30508466) × R
    1.259000000009e-05 × 6371000     		dl = 80.2108900005736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30509725-1.30508466) × R
    1.259000000009e-05 × 6371000     		dr = 80.2108900005736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61973990--1.61969196) × cos(1.30509725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.262583877868244 × 6371000     		do = 80.1998752099254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61973990--1.61969196) × cos(1.30508466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.262596026053888 × 6371000     		du = 80.2035855785153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30509725)-sin(1.30508466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262583877868244-0.262596026053888)×R²
    abs(-1.61969196--1.61973990)×1.21481856440453e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21481856440453e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21481856440453e-05×40589641000000     		ar = 6433.05217449463m²