Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31746 / 35838
↖ ↑ ↗
← S 16.625665°
W  5.614014°		 ← 585.25 m → S 16.625665°
W  5.608521°		 →
↑
585.24 m
↓
↑
585.24 m
↓
S 16.630929°
W  5.614014°		 ← 585.24 m →
342 509 m²		 S 16.630929°
W  5.608521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484413146972656 y=0.546852111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484413146972656 × 216)
    floor (0.484413146972656 × 65536)
    floor (31746.5)     		tx = 31746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546852111816406 × 216)
    floor (0.546852111816406 × 65536)
    floor (35838.5)     		ty = 35838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31746 / 35838 ti = "16/31746/35838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31746/35838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31746 ÷ 216
    31746 ÷ 65536     		x = 0.484405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35838 ÷ 216
    35838 ÷ 65536     		y = 0.546844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.03118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09798302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.09368896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.294332563667145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09798302} λ = -0.09798302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294332563667145))-π/2
    2×atan(0.745028680768955)-π/2
    2×0.640311864993013-π/2
    1.28062372998603-1.57079632675     		φ = -0.29017260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09798302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29017260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.625665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31746 KachelY 35838 -0.09798302 -0.29017260 -5.614014 -16.625665
    Oben rechts KachelX + 1 31747 KachelY 35838 -0.09788715 -0.29017260 -5.608521 -16.625665
    Unten links KachelX 31746 KachelY + 1 35839 -0.09798302 -0.29026446 -5.614014 -16.630929
    Unten rechts KachelX + 1 31747 KachelY + 1 35839 -0.09788715 -0.29026446 -5.608521 -16.630929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29017260--0.29026446) × R
    9.18599999999992e-05 × 6371000     		dl = 585.240059999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29017260--0.29026446) × R
    9.18599999999992e-05 × 6371000     		dr = 585.240059999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09798302--0.09788715) × cos(-0.29017260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958194505885482 × 6371000     		do = 585.253485476033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09798302--0.09788715) × cos(-0.29026446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958168219078775 × 6371000     		du = 585.237429815983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29017260)-sin(-0.29026446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958194505885482-0.958168219078775)×R²
    abs(-0.09788715--0.09798302)×2.62868067079092e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.62868067079092e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.62868067079092e-05×40589641000000     		ar = 342509.086988305m²