Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31746 / 21494
↖ ↑ ↗
← S 48.850258°
E168.771973°		 ← 803.87 m → S 48.850258°
E168.782959°		 →
↑
803.77 m
↓
↑
803.77 m
↓
S 48.857487°
E168.771973°		 ← 803.76 m →
646 080 m²		 S 48.857487°
E168.782959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968826293945312 y=0.655960083007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968826293945312 × 215)
    floor (0.968826293945312 × 32768)
    floor (31746.5)     		tx = 31746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655960083007812 × 215)
    floor (0.655960083007812 × 32768)
    floor (21494.5)     		ty = 21494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31746 / 21494 ti = "15/31746/21494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31746/21494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31746 ÷ 215
    31746 ÷ 32768     		x = 0.96881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21494 ÷ 215
    21494 ÷ 32768     		y = 0.65594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96881103515625 × 2 - 1) × π
    0.9376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.94562661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.3118896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.979830228233948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94562661} λ = 2.94562661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979830228233948))-π/2
    2×atan(0.37537482148847)-π/2
    2×0.359099240389414-π/2
    0.718198480778827-1.57079632675     		φ = -0.85259785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94562661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.771973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85259785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.850258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31746 KachelY 21494 2.94562661 -0.85259785 168.771973 -48.850258
    Oben rechts KachelX + 1 31747 KachelY 21494 2.94581836 -0.85259785 168.782959 -48.850258
    Unten links KachelX 31746 KachelY + 1 21495 2.94562661 -0.85272401 168.771973 -48.857487
    Unten rechts KachelX + 1 31747 KachelY + 1 21495 2.94581836 -0.85272401 168.782959 -48.857487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85259785--0.85272401) × R
    0.000126159999999986 × 6371000     		dl = 803.765359999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85259785--0.85272401) × R
    0.000126159999999986 × 6371000     		dr = 803.765359999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94562661-2.94581836) × cos(-0.85259785) × R
    0.000191749999999935 × 0.658029207225783 × 6371000     		do = 803.874307193128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94562661-2.94581836) × cos(-0.85272401) × R
    0.000191749999999935 × 0.657934204467473 × 6371000     		du = 803.758248094717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85259785)-sin(-0.85272401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658029207225783-0.657934204467473)×R²
    abs(2.94581836-2.94562661)×9.50027583105362e-05×R²
    0.000191749999999935×9.50027583105362e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.50027583105362e-05×40589641000000     		ar = 646079.680631258m²