Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31741 / 21505
↖ ↑ ↗
← N 76.184339°
W 92.820740°		 ← 72.92 m → N 76.184339°
W 92.817993°		 →
↑
72.88 m
↓
↑
72.88 m
↓
N 76.183684°
W 92.820740°		 ← 72.92 m →
5 315 m²		 N 76.183684°
W 92.817993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242168426513672 y=0.164073944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242168426513672 × 217)
    floor (0.242168426513672 × 131072)
    floor (31741.5)     		tx = 31741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164073944091797 × 217)
    floor (0.164073944091797 × 131072)
    floor (21505.5)     		ty = 21505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31741 / 21505 ti = "17/31741/21505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31741/21505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31741 ÷ 217
    31741 ÷ 131072     		x = 0.242164611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21505 ÷ 217
    21505 ÷ 131072     		y = 0.164070129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242164611816406 × 2 - 1) × π
    -0.515670776367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.62002752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164070129394531 × 2 - 1) × π
    0.671859741210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.11070962717069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62002752} λ = -1.62002752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11070962717069))-π/2
    2×atan(8.2540965380304)-π/2
    2×1.45023194558961-π/2
    2.90046389117923-1.57079632675     		φ = 1.32966756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62002752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.820740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32966756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.184339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31741 KachelY 21505 -1.62002752 1.32966756 -92.820740 76.184339
    Oben rechts KachelX + 1 31742 KachelY 21505 -1.61997959 1.32966756 -92.817993 76.184339
    Unten links KachelX 31741 KachelY + 1 21506 -1.62002752 1.32965612 -92.820740 76.183684
    Unten rechts KachelX + 1 31742 KachelY + 1 21506 -1.61997959 1.32965612 -92.817993 76.183684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32966756-1.32965612) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dl = 72.8842399998324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32966756-1.32965612) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dr = 72.8842399998324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62002752--1.61997959) × cos(1.32966756) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238798888816781 × 6371000     		do = 72.9201134508811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62002752--1.61997959) × cos(1.32965612) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238809997831032 × 6371000     		du = 72.9235057220242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32966756)-sin(1.32965612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238798888816781-0.238809997831032)×R²
    abs(-1.61997959--1.62002752)×1.1109014251498e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.1109014251498e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.1109014251498e-05×40589641000000     		ar = 5314.85067112748m²