Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31739 / 37588
↖ ↑ ↗
← S 25.582085°
W  5.652466°		 ← 550.91 m → S 25.582085°
W  5.646973°		 →
↑
550.90 m
↓
↑
550.90 m
↓
S 25.587040°
W  5.652466°		 ← 550.89 m →
303 491 m²		 S 25.587040°
W  5.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484306335449219 y=0.573554992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484306335449219 × 216)
    floor (0.484306335449219 × 65536)
    floor (31739.5)     		tx = 31739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573554992675781 × 216)
    floor (0.573554992675781 × 65536)
    floor (37588.5)     		ty = 37588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31739 / 37588 ti = "16/31739/37588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31739/37588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31739 ÷ 216
    31739 ÷ 65536     		x = 0.484298706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37588 ÷ 216
    37588 ÷ 65536     		y = 0.57354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484298706054688 × 2 - 1) × π
    -0.031402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09865414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57354736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1470947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.462111712337341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09865414} λ = -0.09865414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462111712337341))-π/2
    2×atan(0.629951962604822)-π/2
    2×0.562152354583756-π/2
    1.12430470916751-1.57079632675     		φ = -0.44649162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09865414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.652466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44649162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.582085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31739 KachelY 37588 -0.09865414 -0.44649162 -5.652466 -25.582085
    Oben rechts KachelX + 1 31740 KachelY 37588 -0.09855827 -0.44649162 -5.646973 -25.582085
    Unten links KachelX 31739 KachelY + 1 37589 -0.09865414 -0.44657809 -5.652466 -25.587040
    Unten rechts KachelX + 1 31740 KachelY + 1 37589 -0.09855827 -0.44657809 -5.646973 -25.587040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44649162--0.44657809) × R
    8.64700000000052e-05 × 6371000     		dl = 550.900370000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44649162--0.44657809) × R
    8.64700000000052e-05 × 6371000     		dr = 550.900370000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09865414--0.09855827) × cos(-0.44649162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901967581928126 × 6371000     		do = 550.91076797816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09865414--0.09855827) × cos(-0.44657809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901930240485613 × 6371000     		du = 550.887960281759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44649162)-sin(-0.44657809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901967581928126-0.901930240485613)×R²
    abs(-0.09855827--0.09865414)×3.73414425132168e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73414425132168e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73414425132168e-05×40589641000000     		ar = 303490.663720939m²