Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31738 / 37586
↖ ↑ ↗
← S 25.572176°
W  5.657959°		 ← 550.96 m → S 25.572176°
W  5.652466°		 →
↑
550.96 m
↓
↑
550.96 m
↓
S 25.577130°
W  5.657959°		 ← 550.93 m →
303 551 m²		 S 25.577130°
W  5.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484291076660156 y=0.573524475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484291076660156 × 216)
    floor (0.484291076660156 × 65536)
    floor (31738.5)     		tx = 31738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573524475097656 × 216)
    floor (0.573524475097656 × 65536)
    floor (37586.5)     		ty = 37586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31738 / 37586 ti = "16/31738/37586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31738/37586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31738 ÷ 216
    31738 ÷ 65536     		x = 0.484283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37586 ÷ 216
    37586 ÷ 65536     		y = 0.573516845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.03143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09875001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.14703369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.461919964738861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09875001} λ = -0.09875001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.461919964738861))-π/2
    2×atan(0.630072765962316)-π/2
    2×0.562238833222345-π/2
    1.12447766644469-1.57079632675     		φ = -0.44631866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09875001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44631866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.572176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31738 KachelY 37586 -0.09875001 -0.44631866 -5.657959 -25.572176
    Oben rechts KachelX + 1 31739 KachelY 37586 -0.09865414 -0.44631866 -5.652466 -25.572176
    Unten links KachelX 31738 KachelY + 1 37587 -0.09875001 -0.44640514 -5.657959 -25.577130
    Unten rechts KachelX + 1 31739 KachelY + 1 37587 -0.09865414 -0.44640514 -5.652466 -25.577130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44631866--0.44640514) × R
    8.64799999999999e-05 × 6371000     		dl = 550.964079999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44631866--0.44640514) × R
    8.64799999999999e-05 × 6371000     		dr = 550.964079999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09875001--0.09865414) × cos(-0.44631866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902042253213629 × 6371000     		do = 550.956376286115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09875001--0.09865414) × cos(-0.44640514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90200492094383 × 6371000     		du = 550.933574192296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44631866)-sin(-0.44640514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902042253213629-0.90200492094383)×R²
    abs(-0.09865414--0.09875001)×3.73322697985179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73322697985179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73322697985179e-05×40589641000000     		ar = 303550.89160259m²