Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31738 / 19462
↖ ↑ ↗
← N 77.462452°
W 92.828979°		 ← 66.29 m → N 77.462452°
W 92.826233°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.461855°
W 92.828979°		 ← 66.29 m →
4 396 m²		 N 77.461855°
W 92.826233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242145538330078 y=0.148487091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242145538330078 × 217)
    floor (0.242145538330078 × 131072)
    floor (31738.5)     		tx = 31738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148487091064453 × 217)
    floor (0.148487091064453 × 131072)
    floor (19462.5)     		ty = 19462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31738 / 19462 ti = "17/31738/19462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31738/19462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31738 ÷ 217
    31738 ÷ 131072     		x = 0.242141723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19462 ÷ 217
    19462 ÷ 131072     		y = 0.148483276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242141723632812 × 2 - 1) × π
    -0.515716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.62017133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148483276367188 × 2 - 1) × π
    0.703033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20864471309447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62017133} λ = -1.62017133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20864471309447))-π/2
    2×atan(9.10337035008321)-π/2
    2×1.46138557711847-π/2
    2.92277115423694-1.57079632675     		φ = 1.35197483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62017133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.828979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35197483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.462452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31738 KachelY 19462 -1.62017133 1.35197483 -92.828979 77.462452
    Oben rechts KachelX + 1 31739 KachelY 19462 -1.62012340 1.35197483 -92.826233 77.462452
    Unten links KachelX 31738 KachelY + 1 19463 -1.62017133 1.35196442 -92.828979 77.461855
    Unten rechts KachelX + 1 31739 KachelY + 1 19463 -1.62012340 1.35196442 -92.826233 77.461855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35197483-1.35196442) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35197483-1.35196442) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62017133--1.62012340) × cos(1.35197483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217079373528954 × 6371000     		do = 66.2877981719703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62017133--1.62012340) × cos(1.35196442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217089535279873 × 6371000     		du = 66.2909011848591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35197483)-sin(1.35196442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217079373528954-0.217089535279873)×R²
    abs(-1.62012340--1.62017133)×1.01617509183638e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01617509183638e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01617509183638e-05×40589641000000     		ar = 4396.44954119962m²